Sinus a kosinus - jsou to funkce, které jsou široce používány v matematice a fyzice k popisu vazeb mezi rohy a stranami v trojúhelníku. Sinus a kosinus mohou být navzájem vyjádřeny, což umožňuje najít jednu funkci, když znáte hodnotu druhé. V tomto článku se podíváme na to, jak najít sinus úhlu beta, pokud je známý kosinus úhlu beta.
Pro začátek si připomeňme základní definice. Sinus úhlu je poměr opačné strany k přeponě a kosinus úhlu je poměr vedlejší strany k přeponě. Pokud známe hodnotu kosinus úhlu beta, můžeme najít sinus úhlu beta pomocí následujícího vzorce:
sinus beta = √(1-kosinus 2 beta)
Podívejme se na příklad výpočtu. Předpokládejme, že kosinus úhlu beta je 0,5. Abychom našli sinus úhlu beta, jednoduše vložíme hodnotu kosinu do vzorce:
sinus beta = √(1 - 0,52) = √(1 - 0,25) = √(0,75) ≈ 0,866
Sinus úhlu beta, pokud je kosinus úhlu beta 0,5, je tedy asi 0,866. Pomocí tohoto vzorce můžeme snadno najít sinus úhlu beta, protože známe pouze hodnotu kosinu úhlu.
Význam sinusu a kosinu
Kosinus beta (cos β) je poměr předmětu k přeponě a sinus beta (sin β) poměr protilehlého katetu k přeponě.
K výpočtu hodnoty sinu β, pokud je známý kosinus β, lze použít následující vzorec:
sin β = √(1 - cos² β)
Nechť je kosinus β 0,6. Pak pomocí vzorce můžeme vypočítat hodnotu sinu β:
sin β = √(1 - cos² β) = √(1 - 0,6²) = √(1 - 0,36) = √0,64 = 0,8
Hodnota sinu β je tedy 0,8.
Vzorec pro nalezení sinusu podle kosinu
Pro nalezení sinusu úhlu na známém kosinu existuje speciální vzorec, který je založen na identitě Pythagoru.
Vzorec je následující:
- Je známo, že součet čtverců sinu a kosinu libovolného úhlu se rovná jedné: sin²(β) + cos²(β) = 1.
- Z této identity lze vyjádřit sinus přes kosinus:
- sin(β) = √(1 - cos²(β))
- Nyní můžete nastražit známou hodnotu kosinu a vypočítat sinus.
Pokud je například známo, že kosinus úhlu β je 0.8:
- sin(β) = √(1 - cos²(β))
- sin(β) = √(1 - 0.8²)
- sin(β) = √(1 - 0.64)
- sin(β) = √0.36
- sin(β) ≈ 0.6
Takže sinus úhlu β bude přibližně 0.6.
Použití trigonometrické identity
Pokud je znám kosinus úhlu β, lze k nalezení sinusu tohoto úhlu použít trigonometrickou identitu. Trigonometrická identita říká:
| Trigonometrická identita |
|---|
| sinus2 β + kosinus2 β = 1 |
Pomocí této identity lze vyjádřit sinus β přes kosinus β:
| Sinus β | = | √(1-kosinus 2 β) |
|---|
Chcete-li tedy najít β sinus, musíte vypočítat kosinus2 β, poté odečíst tuto hodnotu z 1 a najít druhou odmocninu výsledného výsledku.
| Kosinus β | = | 0.8 |
|---|
| Sinus β | = | √(1 - 0.8²) | = | √(1 - 0.64) | = | √(0.36) | = | 0.6 |
|---|
Sinus úhlu β, pokud je známý kosinus β je tedy 0.6.
Příklady výpočtu sinusu podle kosinu
Pokud je znám kosinus úhlu, lze k nalezení sinusu tohoto úhlu použít vzorec. Základní vzorec, který spojuje sinus a kosinus úhlu, je následující:
Z tohoto vzorce lze vyjádřit sinus úhlu přes kosinus:
Zvažte několik příkladů výpočtu:
- Příklad 1: nechť je kosinus úhlu β 0,8. Tehdy
- sin(β) = √(1 - 0,8²) = √(1 - 0,64) = √(0,36) = 0,6
- Příklad 2: Nechť kosinus úhlu β je -0,5. Tehdy
- sin(β) = √(1 - (-0,5)²) = √(1 - 0,25) = √(0,75) ≈ 0,866
- Příklad 3: Nechť kosinus úhlu β je 0, pak
- sin(β) = √(1 - 0²) = √(1 - 0) = √(1) = 1
Tímto způsobem lze pomocí vzorce snadno najít sinus úhlu na jeho kosinu. Je však třeba si uvědomit, že kosinus a sinus úhlu lze určit nejednoznačně v závislosti na čtvrtině, ve které je úhel umístěn, takže výsledek může být negativní.