Kvadratická rovnice je jedním z nejvíce studovaných objektů v algebře. Obecně se zapisuje ve formě Ax 2 + Bx + C = 0, kde a, B A C jsou libovolné koeficienty a x je neznámá proměnná. Řešení kvadratické rovnice může mít různé množství kořenů v závislosti na hodnotách těchto koeficientů.
Když má kvadratická rovnice jeden kořen, znamená to, že její graf protíná osu absces pouze v jednom bodě. V tomto případě se říká, že diskriminant rovnice je nula: D = B 2-4AC = 0. Diskriminant umožňuje určit počet kořenů rovnice a jejich charakter. Když D = 0, dva kořeny se spojí do jednoho a řešení rovnice je stejné číslo.
Je však důležité si uvědomit, že mít jeden kořen ve kvadratické rovnici neznamená, že má pouze jedno řešení. V některých případech mohou existovat i jiná řešení, která se při jednoduchém výpočtu kořene nenacházejí. To je způsobeno zvláštnostmi parametrů rovnice a lze to zjistit při analýze rovnice pomocí metod diferenciálního počtu nebo geometrie.
Situace, kdy kvadratická rovnice má jeden kořen:
Tuto situaci si lze představit takto: graf kvadratické rovnice je parabola, která se dotýká osy X V jednom bodě. Kořen kvadratické rovnice lze nalézt pomocí vzorce x = - b / 2A.
V reálném světě nejsou situace, kdy má kvadratická rovnice jeden kořen, tak časté. Objevují se však například, když je úkolem najít průsečík dvojice křivek nebo vyřešit systém rovnic.
Pokud má kvadratická rovnice jeden kořen, může to znamenat, že přímka a parabola nemají společné průsečíky nebo se protínají v jednom bodě. To může být zajímavý fakt v geometrii, fyzice nebo ekonomice.
Extrémní hodnoty koeficientů
Zvažte celkový tvar kvadratické rovnice:
kde a, b A c jsou koeficienty rovnice.
Aby kvadratická rovnice měla jeden kořen, musí být diskriminant roven nule:
Při řešení této rovnice lze rozlišit dva případy, kdy extrémní hodnoty koeficientů vedou k jednocifernosti:
| Případ | Podmínka | Extrémní hodnoty koeficientů |
|---|---|---|
| 1 | a = 0 | Když je koeficient a nula, rovnice má tvar bx + c = 0. Je to lineární rovnice, která má jeden kořen za předpokladu b = 0. Takže když a = 0 a b = 0, kvadratická rovnice má jeden kořen. |
| 2 | c = 0 | Pokud je koeficient c nulový, pak rovnice bere jako ax^2 + bx = 0. Tato rovnice se nazývá neúplná kvadratická rovnice. V tomto případě existuje faktor x, který lze snést za závorky: x (ax + b) = 0. Podmínka jednokorence je splněna při a = 0 nebo ax + b = 0. |
Z uvedených případů vyplývá, že pro získání jednokorunové kvadratické rovnice je nutné určit, které hodnoty koeficientů mohou vést k tomuto výsledku.
Shodné kořeny při diskriminaci jsou nulové
Když je diskriminant kvadratické rovnice nulový, znamená to, že rovnice má pouze jeden kořen. Toto je zvláštní případ, ke kterému dochází, když se graf kvadratické rovnice dotýká osy absces.
Kořen, který se získá diskriminací rovnou nule, se nazývá shodný kořen. Označuje se jako x = a, kde a je číslo, které se rovná kořenu.
Shodné kořeny vznikají, když má kvadratická rovnice tento druh: ax2 + bx + c = 0, kde a, b A C jsou koeficienty rovnice, přičemž diskriminant je nula: D = b2 - 4ac = 0.
Výpočet shodného kořene se provádí pomocí vzorce: x = - b / (2A).
Když je diskriminant nulový, znamená to, že graf kvadratické rovnice parabolu s vrcholem, který se dotýká osy absces. Rovnice má tedy pouze jeden kořen, což je bod dotyku grafu a osy absces.