Trojúhelník popsaný kolem kruhu - je to trojúhelník, který má všechny vrcholy na kružnici. Jedním z nejzajímavějších úkolů spojených s takovými trojúhelníky je najít jejich plochu při daném okruhu kružnice.
Existuje několik způsobů, jak tento problém vyřešit. Jeden z nich je založen na použití věty o třech kolmicích. Podle této věty, v trojúhelníku popsaném poblíž kružnice, je poloměr kružnice kolmý na stranu trojúhelníku, který prochází středem kružnice.
Při znalosti poloměru kružnice můžeme najít délku strany trojúhelníku, přes kterou je osa symetrie vedena. Dále pomocí vzorce plochy trojúhelníku můžeme najít hledanou plochu.
Jak najdete oblast trojúhelníku popsanou v blízkosti kružnice?
Plochu trojúhelníku popsaného v blízkosti kružnice lze vypočítat pomocí poloměru popsaného kružnice a některých vlastností trojúhelníků, ve kterých je kružnice popsána.
Pro začátek budeme potřebovat vědět, že v trojúhelníku popsaném poblíž kružnice jsou strany trojúhelníku tečné k kruhu. Proto budou strany trojúhelníku rozděleny do úseků, které jsou roztřepené a tečné kružnice.
K výpočtu plochy trojúhelníku lze použít Geronův vzorec, který vypadá následovně:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
kde S je plocha trojúhelníku, a, b, c je délka stran trojúhelníku a p je semiperimetr trojúhelníku (p = (a + b + c) / 2).
V případě trojúhelníku popsaného poblíž kružnice jsou strany trojúhelníku rovny poloměru kružnice (R), protože jsou poloměry kružnice. Vzorec plochy trojúhelníku lze tedy přepsat následovně:
S = √(R * (R - a) * (R - b) * (R - c)).
Nyní, pokud nám je dána pouze hodnota poloměru kružnice, můžeme ji nastrčit do vzorce a vypočítat plochu trojúhelníku.
Metoda nalezení poloměru popsaného kružnice
Poloměr popsaného kružnice trojúhelníku lze nalézt pomocí vzorce, který je založen na vlastnostech tohoto trojúhelníku.
Pro nalezení poloměru popsaného kružnice je nutné znát délky stran trojúhelníku. Řekněme, že strany trojúhelníku jsou označeny jako a, b A c.
Vzorec pro nalezení poloměru popsaného kružnice je následující:
r = (a * b * c) / (4 * S)
kde R je poloměr popsaného kružnice, s je plocha trojúhelníku.
Jak je vidět ze vzorce, poloměr popsaného kružnice závisí na délkách stran trojúhelníku a jeho ploše. Oblast trojúhelníku lze nalézt pomocí různých metod, například pomocí Geronova vzorce.
Znát délky stran trojúhelníku a vypočítat jeho plochu lze snadno najít poloměr popsaného kružnice pomocí výše popsaného vzorce.
Metoda nalezení poloměru popsaného kružnice trojúhelníku se tedy scvrkává na výpočet plochy trojúhelníku a použití vzorce pro poloměr.
Tato metoda může být užitečná při řešení různých geometrických problémů nebo při konstrukci kružnice procházející vrcholy trojúhelníku.
Vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku podle poloměru kružnice
Plocha trojúhelníku lze vypočítat, když znáte poloměr popsaný kolem něj kružnice. K tomu lze použít následující vzorec:
S = (3√3 * R^2) / 4,
kde S - plocha trojúhelníku, a R - poloměr kruhu.
Vzorec je odvozen z vazby mezi poloměrem popsaného asi trojúhelníku kružnice a její plochou. Umožňuje snadno a rychle vypočítat plochu trojúhelníku, aniž byste znali jeho strany nebo úhly.