Jedna ze zajímavých otázek, kterou si můžete položit, když si představíte situaci, kdy si 101 lidí potřese rukama-kolik potřesení rukou se stalo? Na jedné straně se zdá, že každý člověk by si měl potřást rukama se 100 dalšími lidmi, ale ve skutečnosti to není tak jednoduché.
Podívejme se na tuto situaci podrobněji. Každý člověk by si měl potřást rukou s každým ze zbývajících 100 lidí, a pokud toto číslo jednoduše sečteme pro každou osobu, dostaneme: 100 + 100 + 100 + .. + 100. Celkem máme 101 lidí, takže se zdá, že celkový počet podání rukou je 101 * 100 = 10100.
To je však mylný předpoklad, protože v této částce se každé podání ruky počítá dvakrát. Například, když první osoba potřese rukou s druhou, Toto podání ruky se započítává do jeho účtu a také do druhé osoby. Abychom dosáhli správného výsledku, musíme tedy rozdělit celkový počet podání rukou na 2.
Matematický model a vzorec pro výpočet počtu podání ruky
K výpočtu počtu podání ruky v dané situaci lze použít matematický model.
Pokud máme n osoby, které si potřásly rukama, pak každý člověk musí potřást rukou s každým ze zbývajících (N-1) lidí. Každý člověk si tedy musí podat ruce (N-1).
Pokud máme x lidí, celkový počet podání rukou se bude skládat z součtu podání rukou každé osoby:
celkový počet podání rukou = (x-1) + (x - 2)+. + 1
Pro snadné výpočty lze použít vzorec součtu aritmetické progrese:
S = (a1 + an) * n / 2
kde S je součet progrese, A1 je první člen progrese, an - n člen progrese, n-počet členů progrese.
Použitím vzorce získáme následující vzorec pro výpočet počtu podání rukou:
celkový počet podání rukou = \ (\frac<(x - 1 + 1) * (x - 1)> \)
Chcete-li tedy vypočítat počet podání ruky, můžete do daného vzorce vložit počet lidí místo x a vypočítat výsledek.
Člověk a jejich možné kombinace
Chcete-li zjistit počet podání ruky, zvažte každé nové seznámení, které se stane. Když první člověk vstoupí do místnosti, nemá s kým si potřást rukou. Když přijde druhý člověk, má možnost potřást si rukou s první osobou. První osoba tedy provede jedno podání ruky, zatímco druhá provede jedno podání ruky.
Když přijde třetí člověk, má možnost potřást si rukou s každým z předchozích dvou lidí. Třetí osoba tedy provede dvě podání ruky, první provede dvě podání ruky a druhá provede jedno podání ruky.
Pokračováním tohoto procesu si každý nový člověk podá ruku s každým z předchozích lidí. Celkový počet podání rukou se tedy rovná součtu všech čísel od 1 do 100 (protože první osoba již pozdravila zbývajících 100 lidí) - to je 5 050 podání rukou.
Takže pokud je v místnosti 101 lidí, pak je možné 5 050 podání rukou!
Pamatujte, že známky pozornosti a komunikace hrají v našem životě důležitou roli. Takže neváhejte a aktivně se seznamte s novými lidmi, podávejte si ruce a vytvářejte nová spojení a příležitosti pro sebe i pro ostatní!
Počet podání rukou pro každý pár lidí
K zodpovězení otázky o počtu podání rukou, ke kterým došlo mezi 101 lidmi, je nutné použít jednoduchý matematický vzorec. Každý si potřásá rukou s dalšími 100 lidmi kromě sebe. Pro každého člověka se tak vytvoří pár s každým ze zbývajících 100 lidí.
Chcete-li najít celkový počet podání rukou, musíte vynásobit počet lidí počtem párů, které mohou tvořit. Celkový počet párů se v tomto případě rovná kombinaci 2 až 101, což lze zapsat vzorcem C(101, 2).
Pomocí vzorce pro kombinaci získáme:
C(101, 2) =
(101 * 100 * 99!) / (2!99!) = 101 * 100 / 2 = 10100 / 2 = 5050
Mezi 101 lidmi se tak stalo 5050 podání rukou.
Celkový počet podání ruky všem lidem
Abychom vypočítali celkový počet podání rukou všech lidí, musíme vzít v úvahu, že každý člověk si potřese rukou s každým dalším člověkem přesně jednou.
V této situaci máme 101 lidí a každý z nich by si měl potřást rukou s každým jiným člověkem než sám se sebou.
Každý člověk si tak potřese rukou se 100 dalšími lidmi. Celkem 101 lidí krát 100 podání rukou pro každou osobu nám dává celkový počet podání rukou:
Celkový počet podání rukou = 101 * 100 = 10100
Celkový počet podání rukou všech lidí je tedy 10100.
Výpočet počtu podání ruky za různých podmínek
Jedním z oblíbených úkolů souvisejících s kombinatorikou je určit počet podání rukou, ke kterým dojde při daném počtu lidí.
Řekněme, že existuje 101 lidí, kteří si chtějí potřást rukama. Jak zjistím počet podání ruky, které se mezi nimi objeví?
K vyřešení tohoto problému lze použít jednoduchou matematickou argumentaci.
Představme si každého člověka jako uzel hraběte a potřásání rukou mezi nimi hranami hraběte.
Každý člověk si potřese rukou se zbývajícími 100 lidmi (protože si s ním nemůžete potřást rukou). Počet podání ruky pro jednu osobu je tedy 100.
Nyní můžeme zjistit celkový počet podání rukou jednoduše vynásobením počtu podání rukou jedné osoby celkovým počtem lidí:
Celkový počet podání rukou = počet lidí × počet podání rukou jedné osoby = 101 × 100 = 10100.
Takže za předpokladu, že každý člověk chce potřást rukou všem ostatním, celkový počet podání ruky bude 10100.
Příklady výpočtu počtu podání ruky
Chcete-li vypočítat počet podání ruky, musíte použít jednoduchý vzorec. Tento vzorec je založen na skutečnosti, že každý člověk si potřásá rukama s každým jiným člověkem, s výjimkou sebe sama.
Pro ilustraci tohoto vzorce použijeme příklad se 6 lidmi.
Krok 1: Vezmeme počet lidí a odečteme 1:
Krok 2: Výsledné číslo vynásobíme počtem lidí:
Krok 3: Výsledek vynásobíme polovinou:
Šestičlenná skupina tak bude mít 15 podání ruky.
Nyní se podívejme na příklad 101 lidí.
Krok 1: Vezmeme počet lidí a odečteme 1:
Krok 2: Výsledné číslo vynásobíme počtem lidí:
100 * 101 = 10,100
Krok 3: Výsledek vynásobíme polovinou:
10,100 * 0.5 = 5,050
Ve 101členné skupině tak dojde k 5 050 podání rukou.
Tento vzorec funguje pro jakýkoli počet lidí a je to pohodlný způsob, jak rychle vypočítat počet podání rukou, aniž byste museli potřást rukou každému člověku ve skupině.
Podání ruky a grafy: spojení s teorií grafů
Pro odpověď na tuto otázku se můžeme obrátit na teorii grafů. V teorii grafů vědci studují sady bodů, které se nazývají vrcholy, a vazby mezi nimi, nazývané hrany. Každý pár potřesení rukou si lze představit jako jeden vrchol a potřesení rukou mezi dvěma lidmi je žebrem, které tyto vrcholy spojuje.
Tímto způsobem můžeme graf použít k modelování situace potřesení rukou. V tomto úkolu bude hrabě nekomerční, protože potřesení rukou mezi dvěma lidmi je vzájemná akce.
Když máme 101 lidí, každý si musí potřást rukou s každým dalším. To znamená, že máme 100 vrcholů představujících páry potřesení rukou a mezi každým párem vrcholů je hrana.
Pro výpočet počtu podání rukou můžeme použít vzorec z teorie grafů: součet stupňů všech vrcholů je rozdělen na 2. V tomto případě má každý vrchol stupeň 100 (protože každý pár potřesení rukou je spojen s každým dalším párem), takže celkový počet podání rukou se rovná 100 * 101 / 2 = 5050.
V této situaci se tak stalo 5050 podání ruky mezi 101 lidmi.