Lemma v matematice je Podpůrné tvrzení, které se používá k prokázání obecnější věty. Lemma slouží jako mezistupeň při řešení hlavního problému. Může být pravdivá sama o sobě, ale jejím hlavním účelem je zjednodušit nebo urychlit důkaz věty. Lemmy jsou obvykle označeny písmeny řecké abecedy.
Teorém - je to tvrzení, které bylo prokázáno a má přísné logické důkazy. Věty jsou hlavními výsledky matematické vědy a obsahují nové znalosti o vlastnostech matematických objektů. Obvykle jsou formulovány jako tvrzení, které vyžaduje důkaz, a jsou doprovázeny důkazem, který přísně vyplývá z axiomů a dalších zavedených vět.
Axiom - je to tvrzení, které je přijímáno jako pravdivé bez důkazu. Axiomy jsou základem pro konstrukci celého matematického systému. Nelze je odvodit z jiných tvrzení nebo axiomů a jejich počet by měl být minimální. Axiomy definují základní vlastnosti objektů a jsou přijímány jako základní pravdy bezpodmínečně.
Rozdíly mezi lemmou, větou a axiomem
V matematice existuje několik základních pojmů, jako je lemma, věta a axiom. Každý z těchto pojmů má svou roli a význam v matematických průzkumech. Liší se však od sebe ve své podstatě a použití.
- Lemma Lemma je Podpůrné tvrzení, které je mezistupněm k prokázání nějaké globálnější věty. Nemá nezávislý význam a často se používá ke zjednodušení nebo získání dalších informací při dokazování. Lemma není obvykle uveden samostatně, ale je uveden jako pomocný fakt v důkazu obecnější věty.
- Teorém Věta je globální tvrzení, které bylo matematicky prokázáno a má velký význam v určité oblasti nebo teorii. Věta má přísný matematický důkaz a má tendenci mít široké uplatnění při řešení různých matematických problémů nebo problémů. Věty jsou formulovány pomocí jednoduchých a srozumitelných matematických termínů a označení.
- Axiom
Obecně platí, že lemma, věta a axiom jsou různé pojmy s různými funkcemi v matematice. Lemmy se používají ke zjednodušení nebo získání dalších informací, teorémy jsou prokazatelné a mají větší význam a axiomy jsou přijímány a slouží jako základ pro konstrukci matematických teorií.
Lemma: definice a příklady
Lemma je tvrzení, které může být samo o sobě pravdivé nebo nepravdivé, ale jeho hlavním cílem je usnadnit důkaz jiné, obecnější věty.
Příklad použití Lemmy:
Předpokládejme, že chceme dokázat větu, která říká, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Můžeme použít lemmu, která říká, že součet dvou úhlů pravoúhlého trojúhelníku je 90 stupňů.
Důkaz věty lze rozdělit do dvou kroků: použití Lemmy pro pravoúhlý trojúhelník a použití tohoto lemmu na společný trojúhelník. To umožňuje rozdělit složitou větu na dvě jednodušší tvrzení.
Lemma tak usnadňuje dokazování složitějších tvrzení tím, že je rozděluje na menší části a poskytuje přechodné kroky.
Věta: definice a příklady
Příkladem věty je"Pythagorova věta". Tvrdí, že v pravoúhlém trojúhelníku se čtverec délky přepony rovná součtu čtverců délek katetů. Toto tvrzení bylo poprvé prokázáno starověkým řeckým matematikem Pythagorem a je jednou z nejznámějších vět v matematice.
Dalším příkladem věty je"Fermatova věta". Tvrdí, že pro jakékoli prvočíslo p a přirozená čísla x, y, z neexistuje celočíselné řešení rovnice x^n + y^n = z^n, pokud je n větší než 2. Tato věta byla formulována a předpokládána Pierrem de Fermatem v roce 1637, ale zůstala neprokázaná až do roku 1994, kdy britský matematik Andrew Wiles předložil svůj důkaz.
Axiom: definice a příklady
V matematice existuje určité množství obecně známých axiomů, které jsou přijímány jako základ pro konstrukci různých teorií. Například v euklidovské geometrii je jedním z axiomů postulát o existenci přímky procházející dvěma body. V aritmetice je jedním ze základních principů axiom komutativity sčítání: a + b = b + a.
Axiomy mohou být uměle vytvořeny pro stavbu nové matematické teorie nebo systému. Například v teorii množin axiom volby říká, že pro každou rodinu nepustných množin existuje funkce volby, která vybere jeden prvek z každé množiny.
Je důležité poznamenat, že axiomy nevyžadují důkaz, protože jsou přijímány na víru a jsou základem pro konstrukci formálních systémů a matematických teorií.
- Příklad 1: Axiom o úplnosti reálných čísel-pro všechna dvě reálná čísla a A b platí jedno z následujících tvrzení: a < b, a = b или a >b.
- Příklad 2: Krycí axiom - libovolná množina může být pokryta jinou množinou takovým způsobem, že každý prvek první množiny bude patřit alespoň jednomu prvku druhé množiny.
- Příklad 3: axiom kontinuity-pokud v jakémkoli intervalu [a, b] funkce f(x) je kontinuální a f(a) < 0, а f(b) >0, pak existuje takové číslo c v intervalu(a, b), že f (c) = 0.