Kolikrát vážit, abyste našli falešnou minci z 27, která je lehčí než ostatní?

Možná mnozí z nás slyšeli hádanku o hledání falešné mince mezi pravými, přičemž je známo, že falešná mince váží méně než ostatní. Ale co když musíme najít nejen falešnou minci, ale také zjistit, zda váží méně nebo více?

Představme si, že máme 27 mincí, přičemž jedna z nich je falešná. Úkolem je najít falešnou minci a zjistit, zda váží méně nebo více než skutečné mince. Na první pohled se může zdát, že k vyřešení tohoto problému bude potřeba 27 vážení. Máme však efektivnější způsob řešení tohoto problému.

Pro začátek rozdělíme mince do tří skupin po 9 mincích v každé. Pak dáme dvě z těchto skupin na váhu. Pokud jsou stejné hmotnosti, znamená to, že falešná mince je ve třetí skupině, ve které je méně mincí. V takovém případě zbývá 9 mincí a opět je rozdělíme do tří skupin po 3 mincích.

Jak najdu falešnou minci?

K nalezení falešné mince 27, která je lehčí než ostatní, lze použít metodu vážení. Rozdělte mince do tří stejných skupin po 9 mincích v každé.

Porovnejte hmotnost prvních dvou skupin mincí. Pokud váží stejně, znamená to, že falešná mince je ve třetí skupině. Pomocí vah najděte falešnou minci mezi 9 mincemi vážením dvou z nich. Pokud jsou si rovni,falešná mince je třetí. Pokud je jedna z mincí lehčí, je falešná.

Pokud mají skupiny mincí v prvním srovnání jinou váhu, vezměte si skupinu, ve které je pravděpodobnější, že se Falešná mince nachází, a rozdělte ji do tří skupin po 3 mincích v každé. Zvažte první dvě skupiny. Pokud jsou si rovni, pak je falešná mince ve třetí skupině. Pokud je jedna skupina lehčí, je v ní falešná mince.

Ve třetí skupině vezměte dvě mince a porovnejte je. Pokud jsou si rovni,falešná mince je třetí. Pokud je jedna mince lehčí, je falešná.

Při použití popsané metody vážení lze tedy najít falešnou minci z 27. Pokud se jeho hmotnost liší od hmotnosti skutečných mincí.

Metoda vážení

K vyřešení problému hledání falešné mince 27, která je lehčí než ostatní, lze použít metodu vážení. Tato metoda je založena na principu popového srovnání hmotností objektů.

Nejprve rozdělíme 27 mincí do tří skupin po 9 mincích. Poté dáme na váhu dvě z těchto skupin. Možné jsou tři případy:

1. Pokud jsou váhy vyvážené, pak je falešná mince ve třetí skupině.
2. Pokud je jedna ze skupin mincí lehčí, pak je falešná mince v této skupině.
3. Pokud je jedna ze skupin mincí těžší, pak je falešná mince v této skupině.

Dále vybereme z vah lehčí nebo těžší skupinu a rozdělíme ji na tři kusy po 3 mincích v každé. Opět dáme na váhy dvě z těchto skupin a opakujeme postup porovnávání závaží.

Metoda vážení tak umožňuje iterativně snížit počet možných možností a najít falešnou minci.

Počet vážení

Abychom našli falešnou minci 27, která je lehčí než ostatní, budeme muset použít metodu vážení na váze. Podle dobře promyšlených kroků budeme schopni identifikovat falešnou minci za určitý počet vážení.

1. Rozdělíme 27 mincí do tří skupin po 9 mincích.
2. Vezmeme dvě z těchto skupin a dáme je na váhu.
3. Pokud je jedna skupina lehčí, pak je v ní falešná mince. Pokud jsou váhy vyvážené, znamená to, že falešná mince je ve třetí skupině.
4. Vybereme skupinu s lehkými mincemi a rozdělíme ji do tří skupin po 3 mincích v každé.
5. Opakujeme podobné kroky: dáme dvě skupiny na váhy.
6. Pokud se jedna ze skupin ukáže jako lehká, pak je v ní falešná mince. Pokud jsou váhy vyvážené, znamená to, že falešná mince je jednou ze zbývajících tří mincí.
7. Vezmeme dvě mince ze zbývajících tří a dáme je na váhy.
8. Pokud je jedna z mincí lehčí, je to falešná mince. Pokud jsou váhy vyvážené, znamená to, že falešná mince je pravděpodobně třetí mince.

Abychom našli falešnou minci z 27, která je lehčí než ostatní, budeme potřebovat maximálně tři vážení.

Nalezení falešné mince

Příležitostí k vážení najít falešnou minci 27, která je lehčí než ostatní, není mnoho. Zvažte algoritmus, který nám pomůže tento problém vyřešit.

Pro začátek rozdělíme 27 mincí do 3 skupin po 9 mincích. Pak vezmeme dvě z těchto skupin a dáme je na váhu.

Možné jsou tři případy:

1. Pokud jsou váhy vyvážené, pak je falešná mince ve třetí, zbývající skupině. Dále můžeme použít stejný algoritmus pro třetí skupinu a najít falešnou minci.
2. Pokud se jedna ze skupin ukázala jako lehčí, pak je v této skupině falešná mince. Nyní vezmeme 3 mince z této skupiny a dvě z nich položíme na váhy. Možné jsou dva případy:
   1. Pokud jsou váhy vyvážené, pak je falešná mince třetí mincí z lehké skupiny.
   2. Pokud váhy nejsou vyvážené, pak je falešná mince jednou ze dvou mincí na váze. Pro zjištění, která mince je falešná, stačí další vážení.
   1. Pokud jsou váhy vyvážené, pak je falešná mince třetí mincí ze stejné skupiny.
   2. Pokud váhy nejsou vyvážené, pak je falešná mince jednou ze dvou mincí na váze. Pro zjištění, která mince je falešná, stačí další vážení.

   S tímto algoritmem tedy můžeme provést maximálně tři vážení, abychom našli falešnou minci 27, která je lehčí než ostatní.

   Vyloučení skupiny mincí

   K nalezení falešné mince 27, která je lehčí než ostatní, můžeme použít metodu vyloučení skupin mincí. Při jednom vážení můžeme vyloučit skupinu mincí.

   Na začátku můžeme rozdělit 27 mincí do tří skupin po 9 mincích. Pak vybereme dvě z těchto skupin a dáme je na váhu. Pokud jsou váhy vyrovnané, znamená to, že falešná mince je ve třetí skupině. Jinak si uvědomujeme, že falešná mince je v jedné ze dvou vážených skupin.

   Dále vezmeme jednu z vážených skupin a provedeme další vážení. Pokud váhy opět nejsou vyvážené, pak je falešná mince v této skupině, jinak je falešná mince ve skupině, kterou jsme vyloučili.

   K definitivnímu určení falešné mince zbývá pouze jedna vážená mince. Pokud je lehčí, je to falešná mince. Jinak jsou všechny ostatní mince skutečné a vyloučenou skupinu lze považovat za falešnou.

   Metoda vyloučení skupin mincí nám tedy pomáhá efektivně najít falešnou minci z 27, která je lehčí než ostatní, během pouhých tří vážení.

   Kontrola skupin mincí

   Pro nalezení falešné mince 27, která je lehčí než ostatní, je rozdělíme do skupin.

   Počet skupin bude záviset na dostupných vahách:

   1. Pokud máme jen jednu váhu, nemůžeme rozdělit mince do skupin a najít tu falešnou.
   2. Pokud máme dvě váhy, rozdělíme mince do tří stejných skupin: devět mincí v každé.
      • Vážíme dvě ze tří skupin mezi sebou.
      • Pokud jsou váhy vyvážené, pak je padělek ve třetí skupině. Vážíme z ní dvě mince.
      • Pokud váhy nejsou vyvážené, pak je padělek v nejlehčí skupině. Vážíme z ní dvě mince.
   3. Pokud máme tři váhy, rozdělíme mince do čtyř skupin: sedm mincí v každé.
      • Vážíme dvě ze čtyř skupin mezi sebou.
      • Pokud jsou váhy vyvážené, pak je padělek ve třetí nebo čtvrté skupině. Vážíme dvě mince z jedné z těchto skupin.
      • Pokud váhy nejsou vyvážené, pak je padělek v nejlehčí skupině. Vážíme z ní dvě mince.

   S odpovídajícím počtem vah tedy můžeme postupně snížit počet mincí k vážení a najít falešnou minci.