Naučit se délku oblouku kružnice může být užitečné v mnoha úkolech geometrie a fyziky. Znalost centrálního úhlu a poloměru umožňuje přesně určit délku oblouku. V tomto článku se budeme podrobně zabývat tím, jak se to dělá, na příkladech a úkolech pro žáky 8.tříd.
Jedním ze způsobů, jak vypočítat délku oblouku kružnice, je použití vzorce délky kružnice: L = 2πr. Zde je L-délka oblouku, π-číslo Pi (zaokrouhlené na tři znaky), R – poloměr kruhu. Pro použití tohoto vzorce však potřebujeme znát poloměr a v některých úkolech může být poloměr Neznámý.
Dalším způsobem je výpočet délky oblouku pomocí centrálního úhlu. Délka oblouku (L) je spojena s úhlem (α) mezi poloměry tohoto oblouku:
L = 2πR * α / 360°
Zde se α měří ve stupních. Pro výpočet délky oblouku stačí znát pouze středový úhel, bez informací o poloměru. Tato metoda se ukazuje jako zvláště užitečná při řešení různých problémů souvisejících s geometrií a fyzikou.
Jak najít oblouk kružnice se známým centrálním úhlem
Chcete-li najít obvodový oblouk s daným centrálním úhlem, musíte znát vzorec výpočtu. Obvodový oblouk závisí na délce poloměru a hodnotě centrálního úhlu.
Vzorec pro nalezení délky oblouku kružnice:
Délka obvodu oblouku = (středový úhel ve stupních / 360) * 2π * poloměr
- Centrální úhel ve stupních-hodnota centrálního úhlu kružnice ve stupních;
- 2π - číslo π (pí) je přibližně 3.14159 krát 2;
- Poloměr je vzdálenost od středu kružnice k jejímu libovolnému bodu.
Příklad: pokud je nastaven centrální úhel kružnice na 60 stupňů a poloměr je 5 cm, pak:
- (60 / 360) * 2π * 5 = 0.1666 * 3.14159 * 10 = 5.236
Délka oblouku obvodu se známým centrálním úhlem je tedy 5.236 cm.
Definice pojmu "obvodový oblouk" a středový úhel
Pro snadné označení každého oblouku je na kružnici umístěn název, obvykle odpovídající dvěma bodům, které ohraničují oblouk. Pokud jsou například dva body kružnice označeny jako A A B, pak oblouk mezi nimi bude označen jako AB.
Středový úhel - je to úhel, jehož vrchol je ve středu kružnice, zatímco strany jsou čáry vycházející ze středu a zasahující do tohoto kružnice. Středový úhel se vždy rovná stupni oblouku vytvořeného tímto úhlem.
K nalezení délky oblouku kružnice ve známém centrálním rohu lze použít proporcionalitu s vědomím, že úplný středový úhel je 360 stupňů (2π radiánů).
Pokud je například středový úhel 60 stupňů, bude délka oblouku rovna (60/360) * 2π * poloměr kruhu.
Při znalosti významu centrálního úhlu lze tedy snadno najít délku odpovídajícího oblouku kružnice.
Vzorec pro výpočet obvodu oblouku podle centrálního rohu
Pro výpočet obvodu oblouku podél středového rohu lze použít následující vzorec:
| Parametr | Popis |
|---|---|
| Délka oblouku (L) | Neznámá veličina, kterou je třeba najít |
| Poloměr kružnice (r) | Vzdálenost od středu kružnice k libovolnému bodu na kružnici |
| Centrální úhel (α) | Úhel tvořený dvěma paprsky vycházejícími ze středu kruhu a procházejícími začátkem a koncem oblouku |
Vzorec pro výpočet délky oblouku obvodu je následující:
L = 2πr(α/360)
- L - délka oblouku kružnice
- π (pí) - matematická konstanta, přibližná hodnota 3.14159
- r-poloměr kruhu
- α-centrální úhel ve stupních
Pomocí tohoto vzorce lze přesně vypočítat délku obvodu oblouku, znát jeho poloměr a středový úhel. To je užitečné při řešení různých problémů souvisejících s geometrií a trigonometrií.
Příklady problémů s řešením nalezení oblouku kružnice
Zde je několik příkladů úkolů, kde je třeba najít oblouk kružnice podél známého centrálního rohu:
- Najděte oblouk kružnice, pokud je středový úhel 30 stupňů. K vyřešení tohoto problému víme, že středový úhel je 30 stupňů. Vzhledem k tomu, že úplný úhel v kružnici je 360 stupňů, můžeme použít proporce a vyjádřit oblouk kružnice: 30 stupňů – x; 360 stupňů – 2πR (úplný kružnice) nyní při řešení poměru můžeme najít hodnotu oblouku kružnice: 30 stupňů * 2πr = 360 stupňů * x 2πr = 360 stupňů / 30 stupňů = 12
- Najděte oblouk kružnice, pokud je středový úhel 90 stupňů. V tomto úkolu víme, že středový úhel je 90 stupňů. Pomocí stejného poměru můžeme vyřešit: 90 stupňů-x; 360 stupňů-2πR vyřešíme poměr: 90 stupňů * 2πr = 360 stupňů * x 2πr = 360 stupňů / 90 stupňů = 4
- Pokud je středový úhel 60 stupňů, najděte oblouk kružnice. V tomto příkladu je středový úhel 60 stupňů. Opět použijeme poměr: 60 stupňů-x; 360 stupňů-2πR vyřešíme poměr: 60 stupňů * 2πr = 360 stupňů * x 2πr = 360 stupňů / 60 stupňů = 6
Obvodový oblouk se tedy rovná:
- V prvním příkladu: 30 stupňů * 2πr = 12
- Ve druhém příkladu: 90 stupňů * 2πr = 4
- Ve třetím příkladu: 60 stupňů * 2πr = 6
Toto řešení lze použít k nalezení oblouku kružnice v jiných úkolech, kde je znám středový úhel. Vezměte v úvahu, že hodnota R představuje poloměr kružnice.