Sinus a kosinus jsou dvě ze základních trigonometrických funkcí, které se vyskytují v matematice a fyzice. Umožňují nám vypočítat hodnoty úhlů a délek stran trojúhelníků a mají mnoho aplikací v různých oblastech vědy a techniky. Pokud máme hodnotu kosinu nějakého úhlu, pak můžeme najít hodnotu sinusu tohoto úhlu pomocí speciálního vzorce.
Vzorec pro nalezení sinusu podle kosinu je následující:
sinus (úhel) = druhá odmocnina (1-kosinus2 (úhel))
To znamená, že chcete-li najít sinus úhlu, musíte odečíst kosinus tohoto úhlu z jednotky, vzít druhou odmocninu z výsledné hodnoty.
Vezměme si příklad: nechť máme hodnotu kosinu úhlu v radiánech 0.6. Abychom našli sinus tohoto úhlu, použijeme vzorec: sinus(úhel) = druhá odmocnina(1 – 0.62). Provedením výpočtů dostaneme, že sinus tohoto úhlu je asi 0.8.
Kosinus a sinus: základní definice
Kosinus úhlu (označený jako cos) je definován jako poměr předmětu katetu k přeponě trojúhelníku. Tento poměr lze vyjádřit kosinovým vzorcem: cos (úhel) = předmětový katetr / přepona.
Sinus úhlu (označený jako sin) je definován jako poměr protilehlého katetu k přeponě trojúhelníku. Tento poměr lze vyjádřit sinusovým vzorcem: sin(úhel) = protilehlý katetr / přepona.
Mezi kosinem a sinusem existuje základní trigonometrický poměr: sinus úhlu se rovná kosinu dalšího úhlu. To znamená, že pokud je úhel Alpha, pak sin(90 - alpha) = cos(alpha) a cos(90-alpha) = sin (alpha).
Pomocí kosinu a sinusu lze řešit různé geometrické a matematické problémy popisující poměry mezi úhly a stranami trojúhelníku.
| Roh | Kosinus (cos) | Sinus (sin) |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
| 90° | 0 | 1 |
Tabulka výše ukazuje hodnoty kosinu a sinusu pro některé úhly od 0° do 90°. Jsou to základní hodnoty, které lze použít k výpočtu jiných hodnot a také k vytváření grafů funkcí kosinu a sinusu.
Vzorec pro výpočet sinusu podle kosinu
Vzorec pro výpočet sinusu podle kosinu vypadá takto:
sin(x) = √(1 - cos^2(x))
- sin(x) - význam sinusu úhlu x;
- cos(x) - význam kosinus úhlu x.
Tento vzorec je založen na trigonometrické identitě, která říká, že součet čtverců sinusu a kosinu úhlu je vždy jedna.
Příklad výpočtu sinusu podle kosinu:
Nechť je dána hodnota kosinu úhlu rovna 0.6. Chcete-li najít hodnotu sinusu tohoto úhlu, nastražte hodnotu kosinu do vzorce:
Sinus úhlu, jehož kosinus je 0.6, by se tedy blížil 0.8.
Vzorec pro výpočet sinusu podle kosinu může být užitečný při řešení problémů z geometrie, fyziky, astronomie a dalších věd, kde je vyžadována práce s rohy.
Příklady použití vzorce: sinus podle kosinu
Vzorec, který umožňuje vypočítat hodnotu sinusu podle známé hodnoty kosinu, může být užitečný při řešení různých problémů a usnadnit výpočty. Podívejme se na několik příkladů jeho použití.
Příklad 1:
Nechť je dán kosinusův význam -0,5. Je třeba najít význam sinusu.
sinus = sqrt (1-kosinus^2) = sqrt(1 - (-0.5)^2) = sqrt (1 - 0.25) = sqrt (0.75) ≈ 0.866
Sinus při kosinu -0.5 je tedy přibližně 0.866.
Příklad 2:
Pro příklad si vezměme hodnotu kosinu, která je 0.866. Najdeme význam sinusu.
sinus = sqrt (1-kosinus^2) = sqrt(1 - (0.866)^2) = sqrt (1 - 0.749 = sqrt (0.251) ≈ 0.501
Sinus s kosinem 0.866 je tedy přibližně 0.501.
Příklad 3:
Zvažte případ, kdy je kosinus roven 0. Vzorec pro nalezení sinusu bude vypadat:
sinus = sqrt(1 - kosinus^2) = sqrt(1 - 0^2) = sqrt (1-0) = sqrt (1) = 1
Takže když je kosinus roven 0, bude sinus roven 1.
Uvedené příklady ukazují, jak použít vzorec k nalezení sinusu podle známé hodnoty kosinu. Nalezené hodnoty lze použít k řešení geometrických problémů, stejně jako ve fyzice a dalších oblastech vědy.
Tabulka hodnot kosinu a sinusu
Pro nalezení sinusu na kosinu existuje speciální vzorec, ale když jsou přesné hodnoty snadno v tabulce, není třeba používat složité výpočty. Níže je tabulka hodnot kosinus (cos) a sinus (sin) pro některé rohy:
- Úhel 0°: cos (0) = 1, sin (0) = 0
- Úhel 30°: cos (30) ≈ 0.866, sin(30) ≈ 0.5
- Úhel 45°: cos(45) ≈ 0.707, sin(45) ≈ 0.707
- Úhel 60°: cos (60) = 0.5, sin(60) ≈ 0.866
- Úhel 90°: cos(90) = 0, sin(90) = 1
- Úhel 180°: cos(180) = -1, sin(180) = 0
Když je pro jiné rohy vyžadováno nalezení sinusu přes kosinus, můžete použít vzorec:
Tabulka uvádí hodnoty pro nejpoužívanější rohy, ale v případě potřeby je možné pokračovat v jejich vyplňování podle výše uvedeného vzorce.