Derivát funkce - je to jeden z nejdůležitějších konceptů v matematice, který je široce používán ve fyzice, ekonomice, a dalších vědách. Umožňuje určit, jak rychle se hodnota funkce mění v závislosti na změně argumentu. Nalezení derivátu vám umožní najít tečnu ke grafu funkce a určit extrémy funkce.
Existuje několik metod pro nalezení odvozené funkce. Jedním z nejjednodušších a nejpoužívanějších je použití algoritmu diferenciace podle pravidel. K tomu je třeba znát základní vzorce získávání derivátů pro různé typy funkcí.
Například derivát funkce \[f(x)=x^n\], kde \[n\] - celé číslo je součin \[n\] na \[x^\]. Konstantní funkce má vždy derivát rovný nule. A pokud je derivace funkce menší než nula, pak graf funkce klesá na příslušném úseku.
Co je derivát funkce
Odvozená funkce je označena symbolem f'(x) nebo dy/dx. Představuje hodnotu limitu vztahu přírůstku funkce k přírůstku argumentu, když ten druhý směřuje k nule. Formálně je odvozená funkce definována jako výrazový limit:
f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Geometrický význam odvozené funkce spočívá v definování úhlového koeficientu tečny ke grafu funkce v každém bodě. Pokud je derivace funkce kladná, znamená to, že graf funkce se v daném bodě zvyšuje a při záporné derivaci funkce graf klesá. Nulová derivace funkce označuje Extrém-maximum nebo minimum funkce.
Výpočet odvozené funkce lze provést různými metodami, včetně pravidel diferenciace, jako je pravidlo odvozeného součtu, odvozeného součinu a odvozené složité funkce. Tyto metody umožňují lokalizovat deriváty pro různé typy funkcí, včetně polynomů, trigonometrických funkcí, logaritmů a exponenciálních funkcí.
Studium odvozené funkce umožňuje řešit mnoho problémů ve fyzice, ekonomice, inženýrství a dalších oblastech souvisejících s analýzou a optimalizací procesů. Derivace funkcí také nachází uplatnění v numerických metodách řešení rovnic, aproximaci funkcí a modelování.
Vzorce pro nalezení derivace
Níže jsou uvedeny základní vzorce pro nalezení derivace:
| Typ funkce | Vzorec derivace |
|---|---|
| Konstanta | f'(x) = 0 |
| Stepní funkce | f'(x) = n*x^(n-1) |
| Exponenciální funkce | f'(x) = a^x*ln(a) |
| Logaritmická funkce | f'(x) = 1/(x*ln(a)) |
| Goniometrická funkce | f'(x) = cos(x) |
| Inverzní funkce | f'(x) = 1/f'(f^-1(x)) |
| Součet nebo rozdíl funkcí | f'(x) = f1'(x) ± f2'(x) |
| Součin funkcí | f'(x) = f1'(x)*g(x) + f1(x)*g'(x) |
| Soukromé dvě funkce | f'(x) = (f1'(x)*g(x) - f1(x)*g'(x))/(g(x))^2 |
| Řetězové pravidlo | f'(x) = f1'(g(x))*g'(x) |
Tyto vzorce umožňují najít derivát pro většinu funkcí, které se vyskytují v matematice. Existují také složité funkce, které vyžadují další metody a pravidla.
Je důležité znát tyto vzorce a umět je aplikovat, aby bylo možné úspěšně řešit úkoly hledání odvozené funkce.
Vzorec odvozené mocenské funkce
Vzorec odvozené stepní funkce s ukazatelem stupně n je následující:
kde f'(x) - odvozená funkce, n - exponent, a - koeficient před proměnnou, x - argument funkce.
Derivace stepní funkce umožňuje najít rychlost změny funkce v každém bodě grafu. Kromě toho umožňuje definovat speciální body jako extrémy a body přetížení.
Dána funkce f(x) = 2x^3. Abychom našli derivát této funkce, můžeme použít vzorec derivace stepní funkce.
Odvozená funkce f(x) = 2x^3 rovná f'(x) = 6x^2.
Vzorec odvozeného součtu funkcí
Odvozený součet dvou nebo více funkcí lze nalézt pomocí vzorce:
| (f + g)' = f' + g' |
kde F A G jsou funkce a F' A g' jsou jejich deriváty.
Chcete-li vypočítat odvozený Součet funkcí, musíte najít deriváty každé z funkcí jednotlivě a poté je složit. Odvozený součet lze tedy nalézt jako součet odvozených funkcí.
Například, ať máme funkce f(x) = 2x^2 a g (x) = 3x + 1. Chcete-li najít odvozený součet těchto funkcí, musíte nejprve najít jejich deriváty:
| f'(x) = 4x |
| g'(x) = 3 |
Poté pomocí vzorce odvozeného součtu funkcí můžeme najít odvozený součet:
| (f + g)' = f' + g' |
| (2x^2 + 3x + 1)' = 4x + 3 |
Odvozený Součet funkcí 2x^2 + 3x + 1 by se tedy rovnal 4x + 3.
Vzorec odvozeného součtu funkcí nám umožňuje najít deriváty složitějších funkcí, které se skládají z několika složených. Je hlavní složkou při studiu diferenciálního počtu a nachází své uplatnění v různých oblastech vědy a techniky.
Vzorec odvozených funkcí
Derivát díla dvou funkcí lze nalézt pomocí vzorce odvozeného díla:
(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Kde f(x) a g(x) jsou dvě funkce a f'(x) a g'(x) jsou jejich deriváty.
Použití tohoto vzorce může být užitečné při výpočtu derivace komplexních funkcí prezentovaných jako součin funkcí.
Je dána funkce f (x) = (x^2 + 3x) (2x-1). Najdeme její derivát.
Použitím vzorce odvozeného díla získáme:
f'(x) = (2x + 3)(2x - 1) + (x^2 + 3x)(2) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 + 2x^2 + 6x = 6x^2 + 10x - 3.
Derivát funkce f (x) je tedy 6x^2 + 10x - 3.
Příklady řešení
- Najdeme odvozenou funkci f(x) = 3x^2. Používáme pravidlo diferenciace stepní funkce: pokud máme funkci f(x) = x^n její derivace se rovná f'(x) = nx^ . Tím, že toto pravidlo použijeme na naši funkci, získáme: f'(x) = 2 \cdot 3x^ = 6x Odvozená funkce f(x) = 3x^2 rovná f'(x) = 6x.
- Zvažte funkci f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1. Abychom našli derivátovou funkci, můžeme každý člen odlišit jednotlivě.
- Rozlišujeme členy 5x^3:
- Použijeme pravidlo diferenciace stupňovité funkce a získáme:
d(5x^3)/dx = 3 \cdot 5x^ = 15x^2 - Rozlišujeme členy -2x^2:
- Také používáme pravidlo diferenciace stupňovité funkce:
d(-2x^2)/dx = -2 \cdot 2x^ = -4x - Rozlišujeme členy 7x:
- Protože zde neexistuje žádná stupňovitá funkce, aplikujeme pravidlo diferenciace lineární funkce:
d(7x)/dx = 7 - Rozlišujeme členy -1:
- Konstanta má derivaci nulovou:
d(-1)/dx = 0
Shromáždíme získané části dohromady a získáme odvozenou funkci:
f'(x) = 15x^2 - 4x + 7
Příklad nalezení derivace stepní funkce
Vezměme si příklad odvozené funkce f(x) = x 3 :
| Pořadí | Derivace |
|---|---|
| 1 | 3x 2 |
V tomto příkladu jsme použili pravidlo derivace pro stupeň funkce s kladným celým ukazatelem. Obecný vzorec tohoto pravidla je následující:
| Pořadí | Derivace |
|---|---|
| 1 | f'(x) = n * x n-1 |
Derivát funkce stupně s kladným celým ukazatelem je tedy roven n * x n-1 , kde n - míra funkce a x - proměnná, podle které se funkce rozlišuje.
Příklad nalezení odvozeného součtu funkcí
Předpokládejme, že máme dvě funkce, $f(x)$ a $G(x)$ a chceme najít derivát jejich součtu.
Pro začátek najdeme derivát funkce $f (x)$. Nechť $f (x) = 3x^2 + 2x$. Chcete-li najít derivát, vezměte derivát z každého složeného jednotlivě:
| $\frac(3x^2)$ | = | $6x$ |
| $\frac(2x)$ | = | $2$ |
Nyní najdeme odvozenou funkci $g (x)$. Nechť $g (x) = 4x-1$. Stejně tak vezmeme derivát z každého slagovaného:
| $\frac(4x)$ | = | $4$ |
| $\frac(-1)$ | = | $0$ |
Nyní můžeme najít odvozený Součet funkcí $f(x) + g (x)$. Derivační součet se rovná součtu derivátů, takže:
| $\frac(f(x) + g(x))$ | = | $\frac(3x^2 + 2x) + \frac(4x - 1)$ |
| = | $6x + 2 + 4$ | |
| = | $6x + 6$ |
Odvozený Součet funkcí $f(x) + g (x)$ je tedy $6x + 6$.