Kolik stupňů je v trojúhelníku v obvodu

Trojúhelník je vepsán do kružnice, když všechny jeho vrcholy leží na kružnici. To vytváří zvláštní vlastnosti a vztahy v tomto trojúhelníku. Do jednoho z těchto trojúhelníků lze vejít různé tvary, jako je obdélníkový nebo rovnostranný trojúhelník. Jednou z takových důležitých otázek, které lze položit, je, kolik stupňů je v trojúhelníku vepsaném do kružnice.

Bez ohledu na typ trojúhelníku vepsaného do kružnice je součet všech úhlů v trojúhelníku vždy 180 stupňů. To znamená, že i když je trojúhelník vepsán do kružnice, bude mít stále stejný součet úhlů jako běžný trojúhelník. Jinými slovy, součet všech tří úhlů trojúhelníku vepsaných do kružnice bude vždy 180 stupňů.

Odpověď na otázku o počtu stupňů v trojúhelníku vepsaném do kružnice tedy závisí na samotném trojúhelníku. U různých trojúhelníků v této konkrétní kategorii bude odpověď odlišná. Součet úhlů však bude vždy 180 stupňů Bez ohledu na typ trojúhelníku.

Stupně v trojúhelníku vepsaném do kružnice

Stupně v trojúhelníku vepsaném do kružnice mají svůj zvláštní rys. Celý součet úhlů trojúhelníku vepsaných do kružnice je vždy 180 stupňů. To je bez ohledu na velikost trojúhelníku nebo poloměr kružnice.

Pokud je tedy v trojúhelníku vepsaném do kružnice jeden úhel roven 90 stupňům (pravý úhel), pak součet dvou zbývajících úhlů bude 90 stupňů.

Pokud trojúhelník vepsaný do kružnice nemá žádné přímé úhly, součet všech úhlů bude 180 stupňů, což umožňuje rozlišovat mezi trojúhelníky jako akutně úhly, tupoúhlé nebo rovnostranné.

Znalost tohoto pravidla pomáhá při řešení různých problémů spojených s trojúhelníky vepsanými do kružnic a umožňuje přesnější výsledky pomocí geometrických dispozic.

Definice trojúhelníku vepsaného do kružnice

Centrální úhly trojúhelníku vepsaného do kružnice se nazývají úhly, jejichž vrcholy leží na kružnici, zatímco strany procházejí středem kružnice. Takové úhly se měří ve stupních od 0 do 180.

Poznámka: V případě, že je trojúhelník vepsán do kružnice, je hlavní úhel trojúhelníku tvořený průměrem kružnice a kterýkoli ze stran trojúhelníku vždy 90 stupňů.

Součet úhlů trojúhelníku vepsaných do kružnice

Nechť je dán trojúhelník ABC vepsaný do kruhu se středem O. Provedeme poloměry OA, OB a OC, které budou paprsky vycházející ze středu kružnice a protínající strany trojúhelníku ABC.

Podle vlastností trojúhelníku vepsaného do kružnice bude každý z úhlů ∠a, ∠B A ∠C roven polovině stého úhlu tvořeného jedním paprskem, který spojuje střed kružnice O s vrcholem a stranou trojúhelníku:

Součet všech tří úhlů ∠a + ∠B + ∠C se tedy rovná:

∠AOB / 2 + ∠BOC / 2 + ∠COA / 2 = (∠AOB + ∠BOC + ∠COA) / 2 = 180° / 2 = 180°

Součet úhlů trojúhelníku vepsaných do kružnice je tedy vždy 180 stupňů.

Jedna strana trojúhelníku vepsaného do kružnice

Pro trojúhelník vepsaný do kružnice je každá strana chordou. Z vlastností kružnice vyplývá, že hornina procházející středem kružnice je o průměru.

Pokud je tedy jedna ze stran trojúhelníku vepsaného do kružnice o průměru kružnice, pak úhel, který protíná tuto stranu, bude pravý úhel - 90 stupňů.

Pokud však jedna ze stran trojúhelníku není průměrem kružnice, pak úhel, který této straně odporuje, může být jakýkoli. K nalezení úhlu lze v tomto případě použít větu o vepsaných úhlech.

Dva rohy trojúhelníku vepsaného do kružnice

Když je trojúhelník zcela vepsán do obvodu, součet jeho dvou úhlů na základně je 180 stupňů.

K prokázání této skutečnosti lze použít větu o centrálním uhlí. Pokud nakreslíme čáru od středu kružnice ke každému vrcholu trojúhelníku, dostaneme tři stejné úhly, protože každý z nich je centrálním úhlem, který spočívá na oblouku kružnice.

Protože součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů, pak bude každý úhel na základně trojúhelníku roven 180° - (úhel na základně/2), kde úhel na základně je součtem dvou stejných úhlů.

Pokud je například úhel na základně trojúhelníku 60 stupňů, pak bude každý ze dvou stejných úhlů stejný (180° - 60°)/2 = 60 stupňů.

Součet dvou úhlů na základně trojúhelníku vepsaného do kružnice tedy bude vždy 180 stupňů.

Podmínky existence trojúhelníku vepsaného do kružnice

Aby se trojúhelník vešel do obvodu, je nutné splnit následující podmínky:

Podmínka 1: Všechny vrcholy trojúhelníku by měly ležet na kružnici.

To znamená, že pokud má trojúhelník vrcholy A, B A C, pak by každý z těchto vrcholů měl ležet na kružnici, tj. vzdálenost od vrcholu ke středu kružnice by měla být stejná.

Podmínka 2: Součet úhlů trojúhelníku by měl být 180 stupňů.

Je to povinná vlastnost trojúhelníku, ať už je v obvodu nebo ne. Součet všech vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180 stupňů.

Podmínka 3: Pokud je trojúhelník ABC zapsán do kružnice, pak jeho střed kružnice leží na kolmicích vedených ze středu všech stran trojúhelníku.

To znamená, že pokud jsou D, E A F středu stran AB, BC A AC, pak bod O, který je středem kružnice, leží na průsečíku všech kolmic vedených z bodů D, E A F.

Trojúhelník, který splňuje všechny tyto podmínky, se nazývá vepsaný do kružnice.

Výpočet úhlů trojúhelníku vepsaného do kružnice

Pokud je trojúhelník zapsán do kružnice, pak pro výpočet úhlů tohoto trojúhelníku můžeme použít vlastnost, která říká, že centrální úhel tvořený chordou se rovná dvojnásobnému úhlu na kružnici.

Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC vepsaný do kružnice. Vrcholy trojúhelníku jsou body A, B A C a poloměr kružnice označíme jako r. úhly trojúhelníku označíme jako A, B A C.

Je známo, že AB hornina je o průměru kružnice, takže úhel na vrcholu A měří 90 stupňů. Úhel BAC a úhel ABC by tedy měly být stejné. Napíšeme je jako x.

Vzhledem k tomu, že středový úhel AOC se rovná dvojnásobnému úhlu na obvodu, ukazuje se, že úhel ACB měří 2x stupňů.

Nyní se podívejme na trojúhelník ACB. Součet všech úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Je známo, že úhel ACB je 2x stupňů a úhel BAC je 90 stupňů. Nahrazením hodnot získáme:

Zjednodušením rovnice získáme:

Odečteme 90 z obou stran:

Rozdělíme obě strany na 3:

Úhly trojúhelníku vepsaného do kružnice jsou tedy: A = 90 stupňů, B = 30 stupňů a C = 30 stupňů.