Vepsaný kružnice je kružnice, která leží uvnitř daného mnohoúhelníku a dotýká se všech jeho stran. Je zvláštní geometrickou postavou důležitou jak v matematice, tak v praktických aplikacích, jako je architektura a inženýrství. Výpočet poloměru vepsaného kružnice je jedním z hlavních úkolů geometrie.
Existuje několik způsobů, jak určit poloměr vepsaného kružnice. Jedním z nejjednodušších způsobů je použití vzorce založeného na délkách stran mnohoúhelníku. Pro trojúhelník se poloměr vepsaného kružnice vypočítá podle vzorce r = (a + b + c) / 2p, kde a, b A c jsou délky stran trojúhelníku, P je semiperimetr trojúhelníku.
Pokud jsou známy souřadnice vrcholů mnohoúhelníku, lze poloměr vepsaného kružnice vypočítat pomocí vzorce založeného na ploše mnohoúhelníku a délkách stran. Pro trojúhelník se poloměr vepsaného kružnice vypočítá podle vzorce r = a / p, kde a je plocha trojúhelníku, p je semiperimetr.
Po získání poloměru vepsaného kružnice je možné jej postavit na rovinu pomocí počítačového programu nebo grafického editoru. Kružnici lze nakreslit tak, že znáte její poloměr a souřadnice středu. Souřadnice středu kružnice lze vypočítat pomocí vzorců založených na souřadnicích vrcholů mnohoúhelníku a poloměru vepsaného kružnice.
Metoda výpočtu poloměru kružnice
Poloměr vepsaného kružnice je čára, která se dotýká všech stran mnohoúhelníku, do kterého obvod zapadá. Lze jej vypočítat pomocí následujícího vzorce:
r = A / s
kde r - poloměr kružnice, A - oblast mnohoúhelníku, s - semiperimetr mnohoúhelníku.
Pro výpočet plochy mnohoúhelníku můžete použít Geronův vzorec:
A = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
kde a, b a c - délky stran mnohoúhelníku, s - semiperimetr mnohoúhelníku.
Semiperimetr mnohoúhelníku lze vypočítat následovně:
s = (a + b + c) / 2
kde a, b a c - délky stran mnohoúhelníku.
Po výpočtu plochy mnohoúhelníku a jeho semiperimetru lze snadno vypočítat poloměr zadaného kružnice. Tato metoda může být použita k nalezení poloměru vepsaného kružnice v jakémkoli polygonu.
Stanovení úkolu
Úkolem je vypočítat poloměr vloženého kružnice a postavit ji na rovinu.
K tomu použijeme následující údaje:
- Délky všech stran mnohoúhelníku.
- Úhly mezi stranami mnohoúhelníku.
Pro výpočet poloměru vepsaného kružnice použijeme následující vzorec:
- r - poloměr kružnice.
- a - délka jedné ze stran mnohoúhelníku.
- n - počet stran mnohoúhelníku.
- π - pí číslo, přibližná hodnota 3.14159.
- tan - tangens z rohu.
Po výpočtu poloměru vepsaného kružnice jej můžeme postavit na rovinu pomocí středu kružnice a jejího poloměru.
Výpočetní algoritmus
Pro výpočet poloměru vepsaného kružnice je nutné znát délky stran trojúhelníku. Podívejme se na trojúhelník ABC:
Krok 1: Vypočítáme semiperimetr trojúhelníku podle vzorce:
Krok 2: Vypočítáme plochu trojúhelníku podle Geronova vzorce:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
Krok 3: Vypočítáme poloměr kružnice podle vzorce:
Po provedení těchto kroků získáme poloměr vepsaného kružnice, který lze použít k vytvoření kružnice v rovině.
Vytvoření kružnice v rovině
Chcete-li vypočítat poloměr zadaného kružnice, můžete použít následující vzorec:
Kde R je poloměr vepsaného kružnice, s je plocha trojúhelníku, p je semiperimetr trojúhelníku vypočítaný podle vzorce:
Kde a, b, c jsou délky stran trojúhelníku.
Nejprve je nutné vypočítat délky stran trojúhelníku a semiperimetr. Poté lze vypočítat plochu trojúhelníku a nakonec poloměr vepsaného kružnice.
Po výpočtu poloměru zapsaného kružnice jej lze postavit na rovinu pomocí následujícího algoritmu:
- Najděte střed kružnice, což je průsečík bissectris trojúhelníku.
- Nakreslete poloměr kružnice nakreslením čáry od středu k jednomu z vrcholů trojúhelníku.
- Opakujte krok 2 pro každý vrchol trojúhelníku.
Tímto způsobem bude vytvořeno umístění kružnice v rovině.