Kostka je geometrické těleso, které má všechna žebra stejná. Jednou z nejzajímavějších vlastností krychle je závislost jeho objemu na délce žebra. Pokud zvětšíte délku žebra krychle na 2 krát, můžete se divit, kolikrát se jeho objem zvýšil?
Chcete-li odpovědět na tuto otázku, musíte se obrátit na základní vzorec pro výpočet objemu krychle. Objem krychle se rovná součinu délky jeho žebra na sebe třikrát. Z tohoto vzorce je zřejmé, že objem krychle je úměrný třetímu stupni délky jeho žebra.
Pokud tedy zvětšíte délku žebra krychle na 2 krát, bude jeho nová délka dvojnásobná než ta stará. Když toto číslo postavíme na třetí stupeň, dostaneme kolikrát se objem krychle zvýšil.
Co se stane s objemem krychle, když se délka jeho žebra zdvojnásobí?
Pojem objem znamená, kolik prostoru tělo zabírá. Pokud se tedy každá ze tří stran v krychli zdvojnásobí, objem krychle se zvýší 2^3 = 8krát, protože kostka má tři dimenze.
Pokud je tedy původní objem krychle V, pak po zvětšení délky žebra na 2 krát, bude nový objem roven 8V.je to proto, že každá strana se zdvojnásobí, což nakonec vede k nárůstu objemu 2^3 = 8krát.
Jednorozměrné zvětšení žebra
Zvětšení délky žebra krychle na dvojnásobek vede k významným změnám v jeho objemu. Při této změně se objem krychle zvyšuje 8krát.
Krychle je zvláštní typ rovnoběžníku, který má všechna žebra stejnou délku. Proto také zvětšení délky jednoho žebra vede ke zvětšení všech jeho stran. Chcete-li to vyjádřit číselným vyjádřením, můžete vzít počáteční objem krychle (V1) a vynásobit jej koeficientem zvětšení délky žebra (k), který je postaven na krychli.
Nechte v1-počáteční objem krychle, v2-objem krychle po zvětšení délky žebra na 2 krát. Pak můžeme napsat vzorec pro výpočet V2 takto:
Po zvětšení délky žebra na 2 krát se k rovná 2. Vložením této hodnoty do vzorce získáme:
Všimněte si, že 2^3 se rovná 8, takže vzorec se zjednodušuje na:
Objem krychle se tedy zvýší 8krát, pokud se jeho délka žebra zdvojnásobí.
Úvaha druhého stupně
Zvažte situaci, kdy se délka žebra krychle zdvojnásobí. Pro určení, kolikrát se jeho objem zvýšil, použijeme pojem druhého stupně.
Objem krychle se vypočítá podle vzorce: V = a^3, kde V je objem krychle, a je délka žebra. Můžete také napsat vzorec jako: V = A * a * a.
Zvětšíme - li délku žebra 2x, dostaneme novou délku žebra-2a. pak lze nový objem krychle vyjádřit podle vzorce: V' = (2a)^3 = 2^3 * a^3 = 8a^3.
Porovnáním starého objemu krychle (v = a^3) a Nového objemu krychle (V' = 8A^3) lze vidět, že nový objem se oproti starému zvýšil 8krát. To znamená, že objem krychle se zvýšil 8krát, když se délka žebra zdvojnásobila.
S prodloužením délky žebra krychle na dvojnásobek se tedy jeho objem 8krát zvětší. Objem krychle závisí na délce jeho žebra ve druhém stupni.
Nejjednodušší případ
Předpokládejme, že počáteční velikost krychle je 1x1x1. V tomto případě je jeho objem 1 kubický centimetr.
Pokud zvětšíte délku každého žebra krychle na 2 krát, nové rozměry krychle budou 2x2x2. Jeho objem tak bude činit 8 kubických centimetrů.
| Počáteční velikost | Zvětšená velikost | Zvýšení objemu |
|---|---|---|
| 1x1x1 | 2x2x2 | 8 krát |
Změna objemu krychle
V = a^3
kde V - objem krychle, a a - délka jeho žebra.
Pokud zvětšíte délku žebra krychle na 2 krát, bude nová délka stejná 2a. Abychom našli nový objem krychle, vložíme novou délku žebra do vzorce:
V' = (2a)^3 = 8a^3
Zvětšení délky žebra krychle na dvojnásobek tedy vede k 8násobnému zvýšení jeho objemu.
Zvětšení žebra 2x
Pokud se délka žebra krychle zdvojnásobí, kolikrát se zvětší jeho objem?
Objem krychle je definován podle vzorce V = a^3, kde a je délka žebra.
Pokud zvětšíte délku žebra krychle na 2 krát, bude nová délka 2A.v souladu s tím bude nový objem roven (2a)^3, nebo 8a^3.
Když se tedy délka žebra zdvojnásobí, objem krychle se zvýší 8krát.
Srovnání objemů
Zvětšení délky žebra krychle na dvojnásobek vede k zajímavým změnám v jeho objemu. Podívejme se na tuto závislost podrobněji.
Nechť je původní žebro krychle dlouhé a. zapíšeme vzorec objemu krychle: V = a^3, kde v je objem, a je délka žebra krychle. Pokud zvýšíte délku žebra na 2 krát, nová hodnota a bude 2A.
Vložíme novou hodnotu a do vzorce objemu a vypočítáme nový objem krychle: V' = (2a)^3 = 8a^3. Nový objem krychle je tedy 8krát větší než původní objem.