Sestavování třímístných čísel z daných číslic může být zajímavou hádankou, která vám umožní aplikovat základní principy kombinatoriky. V tomto případě máme 7 různých čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Musíme určit, kolik trojciferných čísel lze vytvořit pouze pomocí těchto čísel.
K řešení tohoto problému lze použít principy permutací a kombinací. Permutace je uspořádané umístění prvků a kombinací je neuspořádané umístění prvků. Můžeme použít kombinace, protože pořadí čísel je v tomto úkolu irelevantní.
Chcete-li tedy najít počet třímístných čísel, která lze sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7, můžeme použít vzorec kombinací bez opakování:
Cn k = n! / (k! * (n-k)!),
kde Cn k označuje počet kombinací z n prvků podle K prvků a n! (n-faktoriál) označuje součin všech přirozených čísel od 1 do n.
Kolik třímístných čísel lze vytvořit
Chcete-li zjistit, kolik třímístných číslic lze vytvořit z číslic 1234567, musíte použít kombinatoriku. V tomto případě máme 7 různých číslic a musíme vytvořit trojciferné kombinace.
Možný počet třímístných kombinací je určen kombinacemi 7 prvků po 3. Vzorec pro počítání kombinací bez opakování má vzhled:
Kde-počet prvků-počet vybraných prvků.
V tomto případě musíme vybrat 3 číslice ze 7, takže ano .
Vložením hodnot do vzorce získáme:
Z číslic 1234567 lze tedy vytvořit 50 trojciferných čísel.
Všechny třímístné kombinace
Kolik třímístných číslic lze vytvořit z číslic 1234567?
Abychom našli všechny třímístné kombinace z daných čísel, musíme vzít v úvahu následující:
- První číslice nemůže být nula, protože je to trojciferné číslo.
- Můžeme použít každou z daných číslic (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) jen jednou.
- Pořadí číslic je důležité: 123 a 321 jsou různé kombinace.
Vzhledem k tomu, že máme na výběr 7 číslic na první pozici, 6 číslic na druhé pozici a 5 číslic na třetí pozici, můžeme celkem sestavit 7 * 6 * 5 = 210 různých třímístných kombinací z daných číslic.
Níže jsou uvedeny některé příklady třímístných kombinací, které lze sestavit z číslic 1234567:
123, 124, 125, 126, 127, 132, 134, 135, 136, 137, 142, 143, 145, 146, 147, 152, 153, 154, 156, 157 a tak dále.
Vyloučení nula
Chcete-li vytvořit třímístné číslo z číslic 1234567, musíte vyloučit použití číslice 0. Toto omezení je způsobeno tím, že trojciferná čísla by neměla začínat od nuly, jinak se změní na dvouciferná čísla.
Z čísel 1234567 lze tedy vytvořit pouze třímístná čísla pomocí kterékoli ze zbývajících číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Nuly se nepočítají.
Složením třímístných čísel lze libovolné z těchto čísel použít v kterékoli ze tří bitů: stovky, desítky a jednotky. Například trojciferná čísla mohou být 123, 124, 125 atd. Počet možných třímístných čísel bude určen počtem zbývajících číslic a jejich rozdělením do bitů.
K určení počtu možných třímístných čísel lze použít vzorec kombinatoriky. Případ, který nás zajímá, je umístění čísel bez opakování s ohledem na pořadí.
Počet třímístných čísel bez použití nuly z číslic 1234567 se tedy rovná:
6 x 6 x 5 = 180
To znamená, že z čísel 1234567 lze vytvořit 180 trojciferných čísel.
Absence opakování
Z číslic 1234567 je možné vytvořit třímístná čísla bez opakování číslic. To znamená, že každé číslo v čísle bude jedinečné a nebude se opakovat.
Pro vytvoření třímístného čísla z číslic 1234567 bez opakování může být první číslice vybrána ze 7 možných variant (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Po výběru první číslice může být druhá číslice vybrána ze 6 možných variant (zbývajících číslic) a třetí číslice z 5 možných možností.
Počet třímístných čísel, která lze sestavit z číslic 1234567 bez opakování, se tedy rovná součinu čísel druhu 7 * 6 * 5 = 210.
| První číslice | Druhá číslice | Třetí číslice |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 4 |
| 1 | 2 | 5 |
| 1 | 2 | 6 |
| 1 | 2 | 7 |
Kombinace bez čísla 1
Když vyloučíme číslo 1 z mnoha dostupných číslic, počet možných kombinací se sníží. Místo 7 číslic ponecháme pouze 6: 2, 3, 4, 5, 6 a 7.
Abychom tedy sestavili třímístná čísla bez použití čísla 1, máme pro každou pozici 6 možností. Z těchto čísel si můžeme vybrat pro první pozici, poté pro druhou pozici a nakonec pro třetí pozici.
Proto se celkový počet možných třímístných čísel sestavených z číslic 2, 3, 4, 5, 6 a 7 bez použití číslice 1 rovná:
6 * 6 * 6 = 216 kombinací.
Každá z těchto kombinací bude jedinečná a nebude obsahovat číslici 1.
Kombinace bez čísla 2
V tomto úkolu se podíváme na třímístná čísla, která jsou složena z číslic 1234567. Ale co když z této sady vynecháme číslo 2?
Takže musíme vytvořit trojciferná čísla pouze pomocí čísel 1, 3, 4, 5, 6 a 7. Zvažte všechny možné kombinace těchto čísel:
Můžeme tedy vytvořit 125 kombinací třímístných čísel, aniž bychom použili číslo 2.
Kombinace bez čísla 3
K vytvoření třímístných čísel ze sady číslic 1234567 bez použití čísla 3 je nutné použít pouze zbývající čísla. V tomto případě je k dispozici 6 číslic: 1, 2, 4, 5, 6 a 7.
Zvažte možné varianty kombinací:
1. První číslice v čísle lze vybrat ze 6 dostupných číslic.
2. Druhá číslice může být také vybrána ze 6 dostupných číslic (opakování je povoleno)
3. Třetí číslici lze také vybrat ze 6 dostupných číslic.
Celkový počet možných kombinací se tedy rovná součinu počtu možností pro každou pozici: 6 * 6 * 6 = 216.
Takže z číslic 1234567 lze vytvořit 216 třímístných čísel bez použití čísla 3.
Kombinace bez čísla 4
K vytvoření třímístných číslic z číslic 1234567 bez použití čísla 4 můžeme použít kombinatoriku. V tomto případě musíme vybrat první číslo ze 6 možných (1, 2, 3, 5, 6, 7), pak druhé číslo ze 6 možných (opět 1, 2, 3, 5, 6, 7), a nakonec třetí číslo z 5 možných (1, 2, 3, 5, 6).
Vzhledem k tomu, že pořadí číslic je důležité, můžeme pomocí vzorce vypočítat všechny možné kombinace z dané sady prvků: n r , kde n počet možných prvků pro výběr a r - počet položek, které je třeba vybrat.
Použitím tohoto vzorce získáme:
6 1 * 6 1 * 5 1 = 180
Z číslic 1234567 tedy můžeme vytvořit 180 trojciferných kombinací bez použití čísla 4.
Kombinace bez číslice 5
Z daných číslic 1234567 můžeme vytvořit trojciferné kombinace bez použití číslice 5.
Pro začátek se podíváme na první místo v trojciferném čísle. Vzhledem k tomu, že nechceme použít číslici 5, může být na tuto pozici uvedena jakákoli jiná číslice z daných: 1, 2, 3, 4, 6, nebo 7.
Druhou a třetí pozici lze také vyplnit kteroukoli ze zbývajících číslic. Pokud například na první pozici dosadíme 1, lze druhou a třetí pozici vyplnit libovolnými čísly ze zbývajících: 2, 3, 4, 6 nebo 7.
Pro každou pozici v trojciferném čísle tedy máme 5 možností výběru, protože 5 číslic od 1 do 7 zůstává, poté, co jsme vyloučili 5. Pomocí pravidla násobení můžeme vypočítat celkový počet kombinací vynásobením počtu možností pro každou pozici: 5 * 5 * 5 = 125.
Můžeme tedy vytvořit 125 třímístných kombinací bez použití číslice 5 z daných číslic 1234567.