Počítací množina - je to množina, pro kterou lze nastavit vzájemnou shodu s mnoha přirozenými čísly. Dokázat, že množina čísel druhu 1 2n je účelná, znamená najít takovou shodu a prokázat její správnost.
Nejprve se podíváme na množinu přirozených čísel N, která je z definice počítatelná. To znamená, že pro každé přirozené číslo existuje jediné odpovídající číslo z N.
Nyní se podíváme na množinu čísel typu 1 2n, kde n patří N. Tato množina se skládá z nekonečného počtu prvků, z nichž každý lze představit jako 1 2n. chceme dokázat, že tato množina je také počítatelná.
Chcete-li nastavit soulad mezi množinou čísel druhu 1 2n a množinou přirozených čísel, můžete vzít každé číslo z množiny přirozených čísel a použít na něj vzorec 1 2n. každé přirozené číslo tedy bude odpovídat jednotnému číslu z množiny 1 2n.
Definice množiny čísel druhu 1 2n
Množina čísel druhu 1 2n, kde n patří N, je počítací množina. To znamená, že prvky této množiny lze uspořádat do sekvence, která odpovídá přirozeným číslům.
Abychom pochopili, jak je daná množina postavena, je třeba si uvědomit, že 2N je ekvivalentem násobení čísla 2. V souladu s tím jsou čísla druhu 1 2n získána vynásobením čísla 1 2, které je povýšeno na stupeň n.
Každé číslo druhu 1 2n tedy odpovídá určitému stupni čísla 2. Například při n = 0 se získá číslo 1, při n = 1 se získá číslo 2, při n = 2 se získá číslo 4 a tak dále.
Je možné si všimnout, že každé číslo druhu 1 2n představuje jedinečný prvek této množiny. Vzhledem k tomu, že množina přirozených čísel N je počítatelná, množina čísel typu 1 2n je také počítatelná, protože každé číslo lze jednoznačně přiřadit odpovídající přirozenému stupni čísla 2.
Množina čísel typu 1 2n, kde n patří N, je tedy počítací množina.
Co je množina čísel typu 1 2n?
Obecně lze čísla druhu 1 2n představit takto:
| n=1 | 1 * 2^1 = 2 |
| n=2 | 1 * 2^2 = 4 |
| n=3 | 1 * 2^3 = 8 |
| n=4 | 1 * 2^4 = 16 |
| n=5 | 1 * 2^5 = 32 |
| . | . |
Množina čísel typu 1 2n se tedy skládá z nekonečné posloupnosti čísel, která začíná číslem 2 a s každým dalším prvkem se zdvojnásobuje.
Jaká čísla jsou součástí této množiny?
Množina čísel druhu 1 2n, kde n patří k přirozeným číslům, zahrnuje všechna čísla, která lze vynásobit číslem 1 stupněm dvojky.
Tato množina tedy zahrnuje čísla: 1, 2, 4, 8, 16, 32 a tak dále.
Zvláštností těchto čísel je, že se s každým dalším číslem zdvojnásobují. Například číslo 2 se získá vynásobením čísla 1 2, číslo 4 vynásobením čísla 1 2 na druhou, číslo 8 vynásobením čísla 1 na 2 na kostce a tak dále.
Tato množina je nekonečná, protože je možné nadále zvyšovat hodnotu ukazatele n a přijímat všechna nová čísla dané sekvence.
Pro pohodlnější reprezentaci těchto čísel lze použít tabulku:
| n | Počet |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 8 |
| 5 | 16 |
| 6 | 32 |
| . | . |
Všechna čísla této množiny lze tedy představit jako tabulku, kde sloupec "n" uvádí hodnotu ukazatele stupně dvojky a sloupec "číslo" odpovídá číslu získanému vynásobením čísla 1 hodnotou daného stupně.
Vlastnosti množiny čísel typu 1 2 n
Pro důkaz této skutečnosti lze použít konstrukci biekce s mnoha přirozenými čísly.
Podívejme se na zobrazení f: N → , kde f(n) = 1 2 n . To znamená, že každé přirozené číslo n je srovnatelné s odpovídajícím číslem druhu 1 2 n .
Vzhledem k tomu, že každé přirozené číslo má jedinou reprezentaci jako stupeň dvojky, funkce f bude injektivní, to znamená, že každé číslo z množiny N bude porovnáno s jiným číslem druhu 1 2 n .
Množina čísel druhu 1 2 n lze tedy uspořádat a očíslovat přirozenými čísly, což znamená jeho počítání.
Množina čísel typu 1 2 n , kde n patří N, je tedy počítací.
Přehled vlastností množiny
Vlastnosti počítacích množin:
| Vlastnost | Popis |
|---|---|
| Pořádek | Prvky množiny lze seřadit vzestupně, počínaje nejmenším číslem. |
| Výčet | Všechny prvky množiny lze vyjmenovat pomocí nějakého systematického postupu, například pomocí matematického vzorce. |
| Srovnatelnost prvků | Každému prvku množiny lze přiřadit určité jedinečné přirozené číslo. |
Množina čísel druhu 1 2n, kde n patří N, splňuje všechny tyto vlastnosti, a je tedy počítací množinou.
Počítací množina: co to znamená?
Například množina přirozených čísel N = - je počítatelná, protože každé přirozené číslo může být porovnáno s jedinečným číslem v řadě přirozených čísel.
V tomto článku se podíváme na množinu čísel druhu 1, 2n, kde n je přirozené číslo. K prokázání, že tato množina je počítatelná, stačí vytvořit biekci (vzájemnou shodu) mezi prvky této množiny a přírodními čísly.
K tomu lze použít funkci f (n) = 2n, kde n patří do množiny přirozených čísel. Tato funkce převede každé přirozené číslo v dané množině na dvojnásobnou hodnotu. Každému prvku množiny 1, 2n tak lze přiřadit jedinečné přirozené číslo a naopak.
Množina čísel druhu 1, 2n, kde n patří do množiny přirozených čísel, je tedy počítatelná, protože její prvky lze očíslovat přírodními čísly.
Důkaz počitatelnosti množiny čísel druhu 1 2n
Zvažte funkci f (n) = 2n. Tato funkce je biekcí mezi množinou přirozených čísel N a množinou sudých čísel E, protože každé přirozené číslo n je přiřazeno jedinečnému sudému číslu 2n a naopak každé sudé číslo 2n je přiřazeno jedinečné přirozené číslo n. proto je množina sudých čísel E počítatelná.
Nyní se podíváme na funkci g (n) = 2n-1. Tato funkce je biekcí mezi množinou přirozených čísel N A řadou lichých čísel O, protože každé přirozené číslo n je přiřazeno jedinečnému lichému číslu 2n-1 a naopak každé liché číslo 2n-1 je přiřazeno jedinečnému přirozenému číslu n. Množina lichých čísel O je tedy počítatelná.
Nyní zkombinujeme množiny E a O, abychom získali množinu všech čísel druhu 1 2n. postupně očíslujeme všechna sudá čísla a lichá čísla pomocí funkcí f A g. Poté dáme všechna čísla do jedné sekvence.
Vytvořili jsme tedy biekci mezi množinou čísel druhu 1 2n a množinou přirozených čísel N, což znamená, že množina čísel druhu 1 2n je počítatelná.