V geometrii spolu s běžnými tvary, jako jsou trojúhelníky a čtverce, existují geometrické objekty, jako jsou rovnoběžníky. Paralelogramy mají mnoho zajímavých vlastností a jsou důležité pro studium mnoha částí matematiky, včetně lineární algebry a vektorové algebry.
Jedním z klíčových pojmů souvisejících s paralelogramy je jejich plocha. Jak změříme plochu rovnoběžníku, pokud máme pouze vektory popisující jeho strany? V matematice existuje důkaz, který umožňuje vyjádřit plochu paralelogramu prostřednictvím vektorového součinu.
Tento důkaz je založen na konceptu vektorového součinu, který nám umožňuje získat nový vektor kolmý na data vektorů. Vektorový součin dvou vektorů se rovná modulu jednoho z nich, který je chytrý na projekční modul druhého vektoru na rovinu kolmou k prvnímu vektoru.
Popis plochy paralelogramu v matematice
Pro výpočet plochy rovnoběžníku podle vektorů je nutné určit modul vektorového součinu těchto vektorů. Modul vektorového součinu se rovná ploše rovnoběžníku vytvořeného těmito vektory.
Nechte dva vektory: AB a AC, jejich souřadnice ve dvourozměrném prostoru jsou zaznamenány jako:
AB = (x1, y1)
AC = (x2, y2)
Pak lze plochu rovnoběžníku S vypočítat podle vzorce:
S = |x1 * y2 - x2 * y1|
Plocha paralelogramu v matematice tak může být vyjádřena modulem vektorového součinu jeho vektorů třetích stran. Tato metoda je účinná a umožňuje vypočítat plochu rovnoběžníku, aniž byste museli znát délky jeho stran a úhly mezi nimi.
Důkaz plochy rovnoběžníku
K výpočtu plochy paralelogramu lze použít vektorové metody. Pro začátek je nutné najít vektory spojující protilehlé vrcholy rovnoběžníku.
Nechte vektory A a B odpovídající dvěma stranám rovnoběžníku. Pak lze vektor, který spojuje jejich vrcholy, nalézt jako rozdíl vektorů: C = B - A.
Poté je nutné najít délku tohoto vektoru, což lze provést pomocí vzorce délky vektoru: |C| = sqrt(C 2 ).
Výsledný vektor se měří v jednotkách délky, a proto se jeho plocha rovná jedné jednotce délky vynásobené druhou. Pro náš příklad to bude |C| * |A|.
Nicméně, Plocha rovnoběžníku může být záporná v případě, že vektor C byl namířen na opačnou stranu. Pro získání absolutní velikosti plochy je třeba vzít modul výsledné hodnoty.
| Souřadnice bodu | Vektor |
|---|---|
| Vrchol A | A |
| Vrchol B | B |
| Vrchol C | C = B - A |
Plochu rovnoběžníku lze vyjádřit následujícím vzorcem: S = |C| * |A|.
Všimněte si, že tento důkaz platí pouze pro rovinu. Pokud je paralelogram umístěn v trojrozměrném prostoru, pak pro výpočet jeho objemu je nutné použít smíšený součin vektorů.
Propojení plochy rovnoběžníku s délkami vektorů
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat pomocí délek vektorů, které definují jeho strany. K tomu lze použít vzorec:
kde S je plocha rovnoběžníku,
a A b-vektory, které udávají strany rovnoběžníku,
x-operace vektorového díla.
Délky vektorů a A b lze nalézt pomocí vzorce:
kde a1 a a a2 - komponenty vektoru a,
b1 a b2 - komponenty vektoru b.
Umístěním hodnot délek vektorů do vzorce pro oblast lze vypočítat plochu rovnoběžníku.
Spojení plochy rovnoběžníku s délkami vektorů tedy umožňuje určit plochu rovnoběžníku pouze pomocí informací o délkách jeho stran.
Geometrická interpretace plochy rovnoběžníku
Zvažte paralelogramy vytvořené dvěma vektory u a v. Nechť začátek souřadnic odpovídá vrcholu rovnoběžníku vytvořeného průsečíkem vektorů. Pak vektory u a v určují dvě strany rovnoběžníku.
K nalezení plochy rovnoběžníku lze použít následující metodu:
- Najděte vektorový součin vektorů u a v označíme ho jako w.
- Vypočítejte délku vektoru w.
- Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vektoru w.
Geometrickou interpretací této metody je vektorový součin w je vektor kolmý na rovinu rovnoběžníku. Délka tohoto vektoru nám poskytne plochu rovnoběžníku, protože by se rovnala součinu délek dvou stran rovnoběžníku a sinusu úhlu mezi nimi.
Geometrická interpretace plochy rovnoběžníku prostřednictvím vektorového součinu tak umožňuje vizuální zobrazení pomocí vektorů a také snadné výpočet pomocí jejich vlastností.
Výpočet plochy rovnoběžníku
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat pomocí vektorového součinu jeho dvou stran.
Nechte vektory a a b, které jsou stranami rovnoběžníku, a S - oblast tohoto paralelogramu.
Souřadnice vektorů a a b mohou být prezentovány ve formě:
| a = (a1, a2, a3) |
| b = (b1, b2, b3) |
Pro výpočet vektorového součinu c používá se následující vzorec:
| c = a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) |
Znalost vektorového díla c, lze vypočítat jeho délku:
| |c| = √(c1 2 + c2 2 + c3 2 ) |
Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vektorového součinu:
| S = |c| |
Plochu rovnoběžníku lze tedy vypočítat pomocí znalosti souřadnic jeho stran vektory a a b. Pomocí vzorce pro vektorový součin a jeho délku lze získat hodnotu plochy rovnoběžníku S.
Příklady výpočtu plochy rovnoběžníku podle vektorů
Příklad 1:
Zvažte paralelogram, jehož strany jsou definovány následujícími vektory: AB = (2, 3, 1) a AD = (-1, 4, 2).
Chcete-li vypočítat plochu rovnoběžníku podle vektorů, musíte najít vektorový součin dat vektorů:
AB x AD = (3 * 2 - 1 * 4, 1 * (-1) - 2 * 2, 2 * 3 - (-1) * 1) = (2, -5, 7).
Modul vektorového součinu se rovná délce úhlopříčky rovnoběžníku: |AB x AD| = sqrt(2^2 + (-5)^2 + 7^2) = sqrt(4 + 25 + 49) = sqrt(78).
Vzhledem k tomu, že plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jeho dvou stran,:
S = |AB x AD| = sqrt(78) * |AB| = sqrt(78) * sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(78) * sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(78) * sqrt(14) = sqrt(1092).
Proto je plocha tohoto rovnoběžníku rovna sqrt(1092).
Příklad 2:
Zvažte paralelogram, jehož strany jsou definovány následujícími vektory: AB = (3, -1, 2) a AD = (2, 4, 1).
Podobně jako předchozí příklad vypočítáme vektorový součin dat vektorů:
AB x AD = (-1 * 1 - 4 * 2, 2 * 1 - 3 * 1, 3 * 4 - (-1) * 2) = (-9, -1, 14).
Modul vektorového součinu se rovná délce úhlopříčky rovnoběžníku: |AB x AD| = sqrt((-9)^2 + (-1)^2 + 14^2) = sqrt(81 + 1 + 196) = sqrt(278).
Vzhledem k tomu, že plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jeho dvou stran,:
S = |AB x AD| = sqrt(278) * |AB| = sqrt(278) * sqrt(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(278) * sqrt(9 + 1 + 4) = sqrt(278) * sqrt(14) = sqrt(3892).
Proto je plocha tohoto rovnoběžníku rovna sqrt(3892).
Chcete-li tedy vypočítat plochu rovnoběžníku podle vektorů, musíte najít vektorový součin dat vektorů a vypočítat jeho modul. Tento modul pak musí být vynásoben délkou kterékoli ze stran rovnoběžníku. Výsledná hodnota bude představovat plochu rovnoběžníku.