Čtverec je speciální geometrický objekt, který vyniká svými správnými úhly a stejnými délkami stran. Je jednou ze základních postav v matematice a je široce používán v různých oblastech vědy a techniky. Jednou ze zajímavých vlastností čtverce je, že úhlopříčky tohoto tvaru jsou vždy kolmé.
Kolmost je vzájemná poloha dvou přímek, které se protínají v pravém úhlu. V případě čtverce lze snadno pozorovat, že jeho úhlopříčky tvoří pravý úhel, tedy úhel rovný 90 stupňům. Tuto vlastnost lze prokázat několika jednoduchými způsoby.
První způsob: zvažte jakýkoli čtverec a nakreslete jeho úhlopříčku. Poté pomocí vlastností pravoúhlého trojúhelníku dokážeme, že úhlopříčky čtverce jsou jeho bissektriky. Víme, že bissectris pravoúhlého trojúhelníku rozděluje jeho přeponu na dvě stejné části. Úhlopříčky čtverce proto rozdělují jeho strany na dvě stejné části. Z toho vyplývá, že obě strany jsou si rovny. A protože všechny strany čtverce jsou si rovny, má všechny vlastnosti kosočtverce, a proto jsou jeho úhlopříčky kolmé.
Způsob, jak prokázat kolmost úhlopříček na druhou
Dokážeme, že úhlopříčky na druhou jsou kolmé pomocí geometrických vlastností a definic čtverce.
Nechť je uveden čtverec se stranami AB, BC, CD a AD. Označíme střední strany jako E, F, G A h.
1. Všimněte si, že strany čtverce jsou si navzájem rovny: AB = BC = CD = AD. Vyplývá to z definice čtverce.
2. Vzhledem k tomu, že E, F, G a H jsou středy stran, pak podle definice střední čáry trojúhelníku, AE = EC a BG = GD.
3. Přejděme k úsekům AC a BD.
4. Podívejme se na trojúhelníky AEC a BGD. Jsou rovnoramenné, protože AE = EC a BG = GD. Takže mají stejné úhly na základně.
5. Vzhledem k tomu, že úhly DAC a DBC tvoří páry odpovídajících úhlů, jsou stejné.
6. Z rovnosti úhlů DAC a DBC vyplývá, že úhlopříčky AC a BD jsou kolmé. Důkaz dokončen.
Tímto způsobem jsme dokázali, že úhlopříčky na druhou jsou kolmé pomocí geometrických vlastností čtverce a rovnoprávnosti úhlů.
Použití geometrického tvaru
Zvažte čtverec ABCD s úhlopříčkami AC a BD. Protože čtverec je obdélník, má všechny rohy rovné. Zvažte obdélníkový trojúhelník ACD, kde se úhel CAD shoduje s úhlem A A úhel ADC s úhlem D.
- Úhlopříčka AC je přepona pravoúhlého trojúhelníku ACD.
- Úhlopříčka BD je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC.
- Vzhledem k tomu, že oba trojúhelníky ACD a ABC mají pravý úhel na vrcholu A, pak budou mít i ostatní úhly stejné.
- Proto je úhel CAD roven úhlu CAB a úhel ADC se rovná úhlu ADB.
- Vzhledem k tomu, že úhly CAD a ADB jsou odpovídající úhly při rovnoběžných přímkách AC a BD, budou si navzájem rovny.
- Takže úhel CAB bude roven úhlu ADB.
- Ale rohy CAB a ADB jsou oba rovné, protože jsou rohy čtverce.
- Proto jsou úhly CAB a ADB rovny 90°.
- Úhlopříčky AC a BD na druhou jsou tedy kolmé k sobě, protože tvoří protínající se rovné úhly.
Takový důkaz lze použít i pro jiné geometrické tvary, ve kterých jsou úhlopříčky kolmé, například pro kosočtverec nebo obdélník.
Použití vlastností čtverce
Pro důkaz kolmosti úhlopříček na druhou lze použít některé vlastnosti tohoto tvaru:
- Čtverec je rovnoběžník s přímými úhly. Z toho vyplývá, že protilehlé strany čtverce jsou navzájem rovnoběžné.
- Čtverec je kosočtverec s pravými rohy. Z toho vyplývá, že úhlopříčky čtverce tvoří stejné trojúhelníky, což znamená, že jsou kolmé.
- Na druhé straně jsou všechny strany a úhly stejné. To znamená, že všechny úhlopříčky jsou si také rovny.
Pomocí vlastností čtverce lze tedy tvrdit, že úhlopříčky tohoto tvaru jsou kolmé. Tato skutečnost může být použita při dokazování různých geometrických tvrzení a úkolů.