Jak najdu číslo aritmetické progrese? Způsoby a vzorce výpočtu

Aritmetická progrese je posloupnost čísel, ve které se každý další prvek získá přidáním stejného čísla k předchozímu, nazývaného rozdíl. Určení čísla prvku aritmetické progrese může být užitečné v mnoha úkolech, od matematiky po finanční výpočty.

Existuje několik způsobů a vzorců pro výpočet čísla aritmetické progrese. Nejjednodušší je použít vzorec celkového člena aritmetické progrese:

an = a1 + (n-1)d

Zde a1 - první prvek progrese, n - číslo položky, kterou musíte najít, d - rozdíl v progresi. Vložením hodnot do vzorce lze snadno najít číslo aritmetické progrese.

Pokud se zdá, že vzorec společného člena aritmetické progrese je složitý, lze použít jinou metodu. K tomu je třeba znát pouze první prvek progrese a rozdíl. Poté, co najdete rozdíl mezi požadovaným prvkem a prvním prvkem, můžete zjistit, kolikrát rozdíl vstupuje do tohoto rozdílu. Výsledný výsledek bude číslem prvku aritmetické progrese.

Co je aritmetická progrese?

Aritmetická progrese má následující obecný vzorec:

kde a_n n-člen progrese,

a₁ - první člen progrese,

n - číslo člena progrese,

d - rozdíl v progresi.

Zvažte například aritmetickou progresi s prvním členem a₁ = 2 a rozdílnost d = 3.

K nalezení n. člena této progrese použijeme obecný vzorec:

Chcete-li tedy najít členy aritmetické progrese, musíte znát první člen progrese a její rozdíl a poté použít obecný vzorec pro výpočet čísel a hodnot členů.

Způsoby nalezení čísla

Existuje několik způsobů, jak najít číslo v aritmetické progresi. Zvažte dvě hlavní metody:

1. Metoda rozdělení intervalu tato metoda spočívá v postupném dělení intervalu na stejné části a kontrole každé z částí, aby se hledané číslo objevilo. K tomu je třeba znát počáteční hodnotu progrese, její krok a požadované číslo. Při každém dělení intervalu kontrolujeme, do které ze dvou výsledných částí spadá hledané číslo. Poté pokračujeme v dělení již vybrané části, dokud nenajdeme přesné číslo. Tato metoda se používá, když interval, ve kterém je hledané číslo, není zpočátku znám.
2. Metoda použití vzorce k nalezení čísla aritmetické progrese lze použít speciální vzorec: n = (a - a₁) / d + 1, kde n - číslo hledaného čísla, a - samotné hledané číslo, a₁ - první číslo progrese, d - aritmetický postup. Vložením známých hodnot do vzorce lze najít číslo aritmetické progrese bez oddělení intervalu.

Výběr konkrétní metody závisí na dostupných datech a preferencích umělce. Obě metody jsou matematicky správné a umožňují najít číslo aritmetického pokroku s vysokou přesností.

Použití aritmetického progresivního vzorce

K nalezení čísla prvku v aritmetické progresi lze použít speciální vzorec, který usnadňuje a urychluje řešení problémů.

Aritmetický vzorec progrese je následující:

• a_n - význam n-tého prvku progrese;
• a₁ - význam prvního prvku progrese;
• n - číslo hledaného prvku;
• d - rozdíl mezi sousedními prvky progrese.

Pro použití tohoto vzorce je nutné znát hodnotu prvního prvku progrese a rozdíl a také číslo hledaného prvku. Vložením všech hodnot do vzorce můžete snadno a rychle najít požadovaný prvek, aniž byste museli postupně hledat každý předchozí prvek.

Máme například aritmetickou progresi: 2, 5, 8, 11, 14. A chceme najít hodnotu 10. prvku. S vědomím, že první prvek je 2 a rozdíl je 3, můžeme vzorec snadno použít a získat výsledek:

a₁₀ = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29

Takže desátý prvek této progrese bude roven 29.

Příklady výpočtu

Pro lepší pochopení zvažte několik příkladů výpočtu čísla aritmetické progrese podle daných hodnot:

• Příklad 1:
  • Jsou nastaveny hodnoty prvního člena progrese (a₁) = 2, rozdíly (d) = 4 a čísla hledaného člena (n).
  • Použijeme vzorec pro nalezení člena progrese: a_n = a₁ + (n-1)d
  • Nastavíme nastavené hodnoty: a_n = 2 + (n-1)4
  • Dostaneme rovnici: a_n = 4n - 2
  • Jsou nastaveny hodnoty prvního člena progrese (a₁) = 5, rozdíly (d) = -3 a čísla hledaného člena (n).
  • Použijeme vzorec pro nalezení člena progrese: a_n = a₁ + (n-1)d
  • Nastavíme nastavené hodnoty: a_n = 5 + (n-1)(-3)
  • Dostaneme rovnici: a_n = -3n + 8
  • Jsou nastaveny hodnoty prvního člena progrese (a₁) = -10, rozdíly (d) = 2 a čísla hledaného člena (n).
  • Použijeme vzorec pro nalezení člena progrese: a_n = a₁ + (n-1)d
  • Nastavíme nastavené hodnoty: a_n = -10 + (n-1)2
  • Dostaneme rovnici: a_n = 2n - 12

  Pomocí těchto příkladů můžete snadno vypočítat číslo hledaného člena aritmetické progrese. Pamatujte, že vzorec a_n = a₁ + (n-1)d to je hlavní při řešení těchto úkolů.

  Příklad 1: nalezení čísla podle prvního a posledního člena

  Vzorec pro nalezení čísla člena progrese (n) podle známých hodnot prvního (A1) a posledního (an) členů je následující:

  n = (an - a1) / d + 1

  Podívejme se na příklad:

  Je dána aritmetická progrese s prvním členem A1 = 4, posledním členem an = 22 a rozdílem progrese d = 3. Je třeba najít číslo tohoto člena progrese.

  Hodnota	Označení
  První člen progrese	a1
  Poslední člen progrese	an
  Rozdíl progrese	d

  n = 18 / 3 + 1 = 6 + 1 = 7

  Číslo hledaného člena progrese je tedy 7.

  Příklad 2: nalezení čísla podle počtu a počtu členů

  Pokud je v úkolu uveden součet všech členů aritmetické progrese a počet těchto členů, můžete najít číslo příslušného člena podle následujícího vzorce:

  • n-číslo hledaného člena;
  • S-součet všech členů progrese;
  • a₁ - první člen progrese;
  • a_n - poslední člen progrese;
  • d-rozdíl v aritmetické progresi.

  Podívejme se na příklad:

  Je známo, že součet všech členů aritmetické progrese je 150 a počet členů je 10. Najdeme číslo člena progrese.

  Můžeme si všimnout, že zpočátku máme pouze informace o počtu členů a jejich počtu, takže nemůžeme přesně určit číslo člena. Jeho výraz však můžeme získat prostřednictvím a₁ a a a_n.

  V tomto příkladu tedy můžeme určit výraz pro číslo člena progrese, ale nemůžeme najít jeho přesnou hodnotu bez dalších informací o hodnotě a₁ a a a_n.