Geometrická progrese (GP) je posloupnost čísel, ve které je každý další prvek vynásoben předchozím určitým číslem nazývaným krok GP. Nalezení tohoto kroku je velmi užitečné, protože umožňuje předvídat hodnoty následujících prvků a řešit problémy související s GP.
Vzorec pro nalezení kroku GP má jednoduchý vzhled: krok (q) se rovná kořeni z poměru druhého prvku (a2) k prvnímu (a1): q = √(a2 / a1). Znalost tohoto vzorce umožňuje nejen rychle najít krok GP, ale také zkontrolovat správnost tohoto čísla v hotových GP.
Pro ilustraci nalezení kroku GP na příkladu. Zvažte posloupnost čísel: 2, 4, 8, 16, 32. Vložíme hodnoty do vzorce a dostaneme krok: q = √(4 / 2) = √2 = 1.414. Tímto způsobem je krok dané GP 1.414.
Vzorec a příklady nalezení kroku exponenciálně
Vzorec pro nalezení kroku exponenciálně:
- r - geometrický krok
- an - n. člen geometrické progrese
- an-1 - (n-1) - člen geometrické progrese
Dana geometrická: 2, 4, 8, 16, 32.
Najít krok této geometrické progrese:
K nalezení geometrického kroku použijeme vzorec:
V tomto pokroku:
Krok geometrické progrese je tedy 2.
Co je geometrická progrese
Vzorec pro n-tého člena exponenciálně:
kde an - n. člen geometrické progrese, a1 - první člen geometrické progrese, q - jmenovatel, n - číslo člena v progresi.
Pokud například máme geometrickou progresi s prvním členem 2 a jmenovatelem 3, vzorec bude vypadat takto:
V této progresi je každý člen vynásoben předchozím členem 3. Abychom našli pátého člena progrese, použijeme vzorec:
an = 2 * 3 (5-1) = 2 * 3 4 = 2 * 81 = 162.
Pátý člen geometrické progrese s hodnotami 2 a 3 by se tedy rovnal 162.
Jak najít vzorec pro nalezení geometrického kroku
Geometrický krok představuje rozdíl mezi jakýmikoli dvěma po sobě jdoucími členy progrese. Pro jeho nalezení je nutné znát všechny dva po sobě jdoucí členy tohoto pokroku a použít speciální vzorec.
Vzorec pro nalezení geometrického kroku:
q = (b / a)^(1 / (n - 1))
- q - geometrický krok;
- b - druhý člen progrese;
- a - první člen progrese;
- n - počet členů progrese.
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát hodnoty prvního a druhého člena progrese a také počet členů progrese. Jakmile vložíte hodnoty do vzorce a provedete výpočty, získáte geometrickou hodnotu kroku.
Máme například exponenciální progresi: 2, 6, 18, 54. V tomto případě první člen progrese a rovná 2, druhý člen progrese b rovná se 6 a počet členů progrese n rovná se 4. Vložíme hodnoty do vzorce:
q = (6 / 2)^(1 / (4 - 1))
q = 3^(1 / 3)
q ≈ 1.4422
Geometrický krok v tomto příkladu je tedy přibližně 1.4422.
Pomocí vzorce pro nalezení geometrického kroku můžete snadno najít jeho hodnotu a pracovat s geometrickými progresemi.