Hádanka v geometrických úlohách: jak najít katetr a přeponu, pokud jsou známy délky jednoho katetu a velikost úhlu? Odpověď na ni není tak jednoduchá, jak by se mohlo zdát. Ale nebojte se! V tomto článku vám řekneme o technikách řešení těchto úkolů a poskytneme podrobné algoritmy a vzorce. Věřte mi, není to tak těžké, jak by se na první pohled mohlo zdát!
Než začneme uvažovat o algoritmech řešení problémů, připomeňme si základní pojmy a vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku. Připomeňme, že pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, který má jeden z úhlů 90 stupňů. Také v pravoúhlém trojúhelníku existuje zvláštní přepona strana, která je největší stranou a je opačná k přímému rohu. Katety jsou strany přiléhající k přímému rohu.
K tomu všemu můžeme k vyřešení problému potřebovat znalost trigonometrických funkcí-sinus, kosinus a tangens. Pomocí těchto funkcí lze vyjádřit poměry mezi stranami a úhly trojúhelníku. K vyřešení problému se nám také bude hodit Pythagorova věta, která stanoví, že součet čtverců katetů se rovná druhé přeponě.
Nyní se podíváme na algoritmus řešení problému. Pokud je v úkolu známa délka jednoho katetu a velikost úhlu, můžeme použít trigonometrické funkce. V první řadě musíme vyjádřit katetr, který neznáme, prostřednictvím známých prvků. K tomu můžeme použít odpovídající hodnotu tangence úhlu a délku známého katetu. Poté můžeme použít Pythagorovu větu k nalezení délky přepony. Je třeba si uvědomit, že řešení problému může být nedílné, takže v každé konkrétní situaci by měl být použit vhodný algoritmus.
Jak najít katetr a přeponu, pokud je znám jeden katetr a úhel
Pro výpočet neznámého katetu a přepony pravoúhlého trojúhelníku na známém katetu a rohu se používá matematický vzorec sinusu. Sinusový vzorec zní: sinus úhlu se rovná poměru délky protilehlé strany k délce přepony trojúhelníku.
| Známá data | Neznámá veličina |
|---|---|
| Slavný katetr | Neznámý katetr |
| Slavný roh | Přepona |
Pomocí sinusového vzorce můžete vytvořit rovnici:
sin (známý úhel) = známý katetr / přepona
Z této rovnice lze vyjádřit přeponu:
přepona = známý katetr / sin (známý úhel)
Chcete-li tedy najít přeponu, musíte známý katetr rozdělit na sinus známého úhlu.
Chcete-li najít Neznámý katetr, můžete použít Pythagorovu větu:
Neznámý katetr = přepona čtverec-čtverec známého katetu
Když znáte jeden katetr a úhel pravoúhlého trojúhelníku, můžete snadno vypočítat přeponu a další katetr tohoto trojúhelníku.
Definice
K vyřešení problému nalezení katetu a přepony v pravoúhlém trojúhelníku, pokud je znám jeden katetr a úhel, je nutné použít základní větu trigonometrie, která tvrdí, že poměr délky katetu k přeponě je sinus daného úhlu. Pokud je tedy známa délka jednoho katetu a velikost úhlu, lze vypočítat délku druhého katetu a přepony.
Co je to katetr a přepona?
Katety - jsou to dvě strany pravoúhlého trojúhelníku, které tvoří pravý úhel. Jeden katetr je umístěn svisle a druhý vodorovně. Katétr umístěný svisle se nazývá vertikální katétr a katétr umístěný vodorovně se nazývá horizontální katétr.
Přepona - je to největší strana pravoúhlého trojúhelníku a protilehlá přímému rohu. Přepona je hlavní úhlopříčka obdélníku, kterou lze nakreslit kolem trojúhelníku.
S vědomím délky jednoho katetu a přepony lze vypočítat délku druhého katetu pomocí Pythagorovy věty. Pythagorova věta říká, že přepona čtverec se rovná součtu čtverců katetů. Také podle Pythagorovy věty lze nalézt délku přepony, pokud jsou známy délky obou katetů.
Formule
- Pokud je znám katetr a úhel proti němu:
- Pokud je známý катет 𝑎 a úhel 𝛼, pak гипотенузу 𝑐 lze nalézt podle vzorce: 𝑐 = 𝑎 / sin (𝛼)
- Pokud je známý катет 𝑏 a úhel 𝛽, pak гипотенузу 𝑐 lze nalézt podle vzorce: 𝑐 = 𝑏 / sin (𝛽)
Jak najít přeponu, pokud je znám jeden katetr a úhel
K nalezení přepony trojúhelníku, pokud je znám jeden katetr a úhel, lze použít trigonometrické Poměry.
1. Najděte trigonometrickou funkci odpovídající známému rohu. Pokud je například znám úhel alfa, použijte funkci Sin Sin (α).
2. Zapište vzorec, který spojuje známý katetr, přeponu a trigonometrickou funkci tohoto úhlu. Například pro úhel α a katetr a to bude: sin(α) = a / přepona.
3. Vyřešte výslednou rovnici vyjádřením přepony:
přepona = a / sin(α).
Pokud tedy znáte délku jednoho katetu a hodnotu úhlu, můžete pomocí trigonometrie najít přeponu trojúhelníku.
Příklad 1
Například nechť je dán pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a přeponou c a úhel mezi přeponou a jedním z katetů je α. Pokud je znám katetr a A úhel α, pak lze najít přeponu c a další katetr b.
K nalezení přepony c můžeme použít vzorec: c = a / sin(α).
Abychom našli katetr b, můžeme použít vzorec: b = a / tan(α).
Pokud máme například pravoúhlý trojúhelník s katétrem a = 4 a úhlem α = 30 stupňů, pak můžeme najít přeponu c následovně:
- sin(30°) = 0.5
- c = 4 / sin(30°) = 4 / 0.5 = 8
Přepona je tedy 8.
Můžeme také najít jiný katetr b pomocí vzorce:
- tan(30°) = 0.577
- b = 4 / tan(30°) = 4 / 0.577 = 6.92
Další katetr je tedy 6.92.
Řešení problému se známým katetem a úhlem
Pokud je v úkolu známý jeden katetr a úhel, lze použít trigonometrické funkce k určení velikosti druhého katetu a přepony.
Pro začátek označíme známý katetr jako a a známý úhel jako α.
Pokud je znám katetr a A úhel α, pak:
1. Pro nalezení jiného katetu b:
Používáme trigonometrickou funkci tangens:
b = a * tg(α)
2. Pro nalezení přepony c:
Používáme trigonometrickou funkci sinus:
c = a / sin(α)
Pomocí trigonometrických funkcí tangens a sinus lze tedy určit velikost druhého katetu a přepony v úkolu, kde je znám jeden katetr a úhel.