Poloměry popsaných a zapsaných kružnic v postavách jsou důležité parametry, které určují jejich tvar a velikost. V šestiúhelníku popsaném kružnicí jsou žebra v kontaktu s kružnicí a vepsaný kružnice se dotýká všech stran šestiúhelníku. Úkolem je najít poloměr vepsané kružnice do šestiúhelníku, pokud je znám poloměr popsaného kružnice.
K vyřešení tohoto úkolu lze použít poměrně známou vlastnost správného mnohoúhelníku: vnitřní úhly správného mnohoúhelníku jsou stejné a rovny 180 stupňům děleným počtem jeho stran. V případě šestiúhelníku jsou úhly 180/6=30 stupňů.
Podle těchto vlastností, můžete vytvořit trojúhelník, ve kterém je umístěn kružnice. Poloměr tohoto kružnice bude polovinou poloměru vepsaného trojúhelníku. Z tohoto trojúhelníku, který zná jeho úhly, lze najít poloměr vepsaného kružnice pomocí trigonometrických funkcí. To pomůže určit poloměr vepsaného kružnice do šestiúhelníku se známým poloměrem popsaného kružnice.
Určení poloměru vepsaného kružnice do správného šestiúhelníku
Správný šestiúhelník je mnohoúhelník, který má všechny strany stejné a úhly mezi sousedními stranami jsou také stejné. K určení poloměru vepsaného kružnice do správného šestiúhelníku lze použít následující vzorec:
Poloměr vepsaného kružnice = poloměr popsaného kružnice × √3 ÷ 2
Chcete-li tedy najít poloměr vepsaného kružnice, musíte znát poloměr popsaného kružnice. Poloměr popsaného kružnice se rovná vzdálenosti od středu šestiúhelníku k jakémukoli jeho vrcholu.
S vědomím poloměru popsaného kružnice můžeme snadno vypočítat poloměr zapsaného kružnice vynásobením poloměru popsaného kružnice √3 a vydělením výsledné hodnoty 2.
Správný šestiúhelník a jeho vlastnosti
- Všechny vnitřní úhly správného šestiúhelníku jsou 120 stupňů.
- Součet všech vnitřních úhlů správného šestiúhelníku je 720 stupňů.
- Správný šestiúhelník má centrální a vepsaný kružnice.
- Centrální obvod správného šestiúhelníku prochází všemi jeho vrcholy.
- Poloměr centrálního kružnice se rovná poloměru popsaného kružnice a rovná se vzdálenosti od středu kružnice k jakémukoli jejímu vrcholu.
- Poloměr vepsaného kružnice správného šestiúhelníku lze nalézt pomocí poměru r = R * sin (π/6), kde R je poloměr vepsaného kružnice, R je poloměr popsaného kružnice.
- Poměr r = R / 2 se také používá k nalezení poloměru vepsaného kružnice do správného šestiúhelníku.
Správný šestiúhelník má tedy mnoho zajímavých a důležitých vlastností, které lze použít při řešení geometrických problémů.
Popsaný obvod ve správném šestiúhelníku
Poloměr popsaného kružnice ve správném šestiúhelníku lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
kde Ro - poloměr popsaného obvodu a R - poloměr vepsané kružnice do šestiúhelníku.
Poloměr popsaného kružnice ve správném šestiúhelníku je tedy roven poloměru vepsaného kružnice.
Popsaný obvod ve správném šestiúhelníku má řadu důležitých vlastností. Například její střed se shoduje se středem šestiúhelníku a délka obvodu je šest délek strany šestiúhelníku.
Použití popsaného obvodu může být užitečné při řešení problémů souvisejících se správnými šestiúhelníky. Jeho poloměr lze například použít k výpočtu plochy šestiúhelníku nebo délky jeho stran.
Je důležité si uvědomit,že poloměr popsaného kružnice ve správném šestiúhelníku bude vždy roven poloměru kružnice.
Vztah mezi poloměry zapsaných a popsaných kružnic
V matematice existuje zajímavá souvislost mezi poloměry zapsaných a popsaných kružnic ve správném šestiúhelníku.
Nechť R označuje poloměr popsaného kružnice a r poloměr vepsaného kružnice. Pak platí následující poměr:
| Poloměr popsaného kružnice (R) | Poloměr kružnice (r) |
|---|---|
| R = 2 * r | r = R / 2 |
Z tohoto poměru lze odvodit, že poloměr vepsaného kružnice bude vždy roven polovině poloměru popsaného kružnice. Pokud je tedy znám poloměr popsaného kružnice, lze snadno najít poloměr vepsaného kružnice a naopak.
Jak najít poloměr vepsaného kružnice do správného šestiúhelníku
Poloměr vhodeného kružnice do správného šestiúhelníku lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
- Najděte oblast šestiúhelníku se známým poloměrem popsaného kruhu.
- Najděte oblast rovnostranného trojúhelníku tvořeného poloměrem a jednou z jeho stran.
- Rozdělte plochu šestiúhelníku na plochu rovnostranného trojúhelníku.
- Pomocí výsledné hodnoty najděte poloměr zadaného kružnice.
Vzorec pro nalezení plochy rovnostranného trojúhelníku:
- Plocha trojúhelníku je (A2√3) / 4, kde a je délka strany.
Nalezený poloměr vepsaného kružnice umožní určit šířku a délku stran šestiúhelníku a také vypočítat jeho obvod.
Obvod vepsaný do správného šestiúhelníku se dotýká všech jeho stran a rozděluje je do stejných úseků. Také střed vepsaného kruhu se shoduje se středem šestiúhelníku.