Pravoúhlý trojúhelník je jedním z nejběžnějších geometrických tvarů, které se vyskytují v matematice a používají se v každodenním životě. Jedním z úkolů, na které se při řešení často setkáváme, je nalezení trojúhelníkových katetrů podle známé délky přepony.
K vyřešení tohoto problému budete potřebovat znalost Pythagorovy věty, která tvrdí, že přepona čtverce pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců katetů. Na základě této věty lze odvodit vzorec pro nalezení katetů.
Řekněme, že máme trojúhelník ABC, kde AC je přepona a AB a BC jsou katety. Podle Pythagorovy věty můžeme zapsat rovnici: AC 2 = AB 2 + BC 2 . Nyní můžeme jeden z katetů vyjádřit známou délkou přepony a druhý katétrem.
Pokud například známe přeponu AC a AB katetr, můžeme najít BC pomocí následujícího vzorce: BC = √(AC 2 - AB 2 ). Podobně, pokud známe přeponu AC a katetr BC, můžeme najít AB pomocí vzorce: AB = √(AC 2 - BC 2 ).
Jak najít katety pravoúhlého trojúhelníku podle přepony
Pythagorova věta tvrdí, že čtverec délky přepony se rovná součtu čtverců délek katetů. Pomocí tohoto vzorce lze vyjádřit jeden katetr přes druhý a přeponu:
c1 = sqrt(c2 2 - h 2 )
c2 = sqrt(c1 2 - h 2 )
Kde c1 a c2 značí katety a h označuje přeponu.
Definice katetů
K určení katetů pravoúhlého trojúhelníku podle známé přepony je nutné použít Pythagorovu větu a použít odpovídající matematické výpočty.
Pythagorova věta dává do poměru délky přepony pravoúhlého trojúhelníku (c) a délky jeho katetů (a A b). Vzorec Pythagorovy věty je následující:
c^2 = a^2 + b^2
Chcete-li najít délku jednoho katetu (říkejme mu a), musíte známou délku přepony (c) rozdělit na kořen z hodnoty získané odečtením čtverce délky druhého katetu (b) od čtverce délky přepony. To je:
| Formule | Katetr a |
|---|---|
| a = \sqrt | Katetr, který hledáme |
Stejně tak pro nalezení délky druhého katetu (označíme jej b) je nutné známou délku přepony (c) rozdělit na kořen z hodnoty získané odečtením čtverce délky prvního katetu (a) od čtverce délky přepony. To je:
| Formule | Katetr b |
|---|---|
| b = \sqrt | Katetr, který hledáme |
Vzorec pro nalezení katetů
Pro nalezení katetů pravoúhlého trojúhelníku podle známé přepony existuje vzorec zvaný Pythagorova věta:
Čtverec katetu 1 se rovná rozdílu druhé přepony a čtverce katetu 2:
kde a je hodnota prvního katetu, c je hodnota přepony, b je hodnota druhého katetu.
Chcete-li najít druhý katetr, musíte vzorec převést:
Kořen z rozdílu druhé přepony a druhé odmocniny prvního katetu se rovná druhému katetu:
Při znalosti délky přepony a jednoho z katetů je tedy možné najít druhý katetr a poté pomocí Pythagorova vzorce najít délky obou katetů.
Příklad řešení problému
K nalezení katetrů pravoúhlého trojúhelníku podle známé přepony je nutné použít Pythagorovu větu.
- Je známo, že přepona čtverce se rovná součtu čtverců katetů. To znamená, že vzorec bude vypadat následovně: c 2 = a 2 + b 2
- Nastražíme známou hodnotu přepony a označíme neznámé katety jako a A b . Pokud je například známá přepona c = 10 , dostaneme rovnici: 10 2 = a 2 + b 2
- Vyřešíme výslednou rovnici týkající se jednoho z katetů. Například: z 10 2 = a 2 + b 2 lze vyjádřit a 2 = 10 2 - b 2 .
- Najdeme hodnotu katetu, když známe hodnoty přepony a jiného katetu. Pomocí výrazu Pro a 2 získaného v předchozím bodě a známé hodnoty jiného katetu vložíme hodnoty do rovnice a vyřešíme je.
- Dostáváme hodnoty katetů. Pokud je například známa hodnota přepony c = 10 a jeden z katetrů b = 6 , pak vložíme hodnoty do rovnice 10 2 = a 2 + 6 2 a najdeme hodnotu druhého katetu a .
Pomocí Pythagorovy věty a známých hodnot přepony a jednoho z katetů lze tedy najít hodnoty ostatních katetů pravoúhlého trojúhelníku.