Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné mezi sebou. Je důležité si uvědomit, že nalezení úhlů lichoběžníku po stranách bez známé výšky může být obtížný úkol. S pomocí určitých matematických vzorců a pravidel je to však možné.
Za prvé, abyste našli úhly lichoběžníku, musíte znát délku všech jeho stran. Pokud znáte tato data, můžete použít tento vzorec: úhel = arccos((a^2 + b^2 - C^2 - d^2) / (2ab))), kde a A b jsou délky rovnoběžných stran lichoběžníku, c a D jsou délky neparalelních stran.
Pokud však nemáte informace o délce stran lichoběžníku, můžete použít kosinovou větu. Tato věta říká, že čtverec jedné strany trojúhelníku se rovná součtu čtverců dalších dvou stran vynásobenému dvěma součiny těchto stran kosinem jejich společného úhlu. Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat úhly lichoběžníku.
Strany lichoběžníku
Strany lichoběžníku označíme následovně:
AB a CD - rovnoběžné strany lichoběžníku (základny);
BC a AD - boční strany lichoběžníku.
Lichoběžníkové strany mohou být různé podle délky, v závislosti na konkrétním úkolu nebo podmínkách.
K vyřešení problému nalezení úhlů lichoběžníku je nutné znát délky rovnoběžných stran (bází) a bočních stran. Když znáte tato data, můžete použít příslušné vzorce nebo věty k nalezení úhlů.
Je důležité si uvědomit, že úhly lichoběžníku se nesčítají na 360 stupňů, protože jejich součet je pevná hodnota – 180 stupňů.
Lichoběžníkové strany bez výšky
Na začátku známe všechny strany lichoběžníku, jmenovitě délky všech čtyř stran: AB, BC, CD a DA.
Pro začátek najdeme délku lichoběžníkových bází: AC a BD.
Pak najdeme rozdíl mezi délkou dlouhé základny AC a krátkého báze BD: AC - BD.
Dále najdeme rozdíl mezi délkou boční strany AB a boční strany CD: AB - CD.
Budeme muset najít poměr těchto dvou rozdílů: (AC - BD) / (AB - CD).
A nakonec, abychom našli úhly lichoběžníku po stranách, můžeme použít arctangens tohoto vztahu: arctg (((AC - BD) / (AB - CD)).
Tímto způsobem můžeme najít všechny úhly lichoběžníku po stranách, aniž bychom znali výšku. Tato metoda je založena na vlastnostech lichoběžníku a geometrických funkcích.
Je třeba poznamenat, že tato metoda umožňuje najít rohy pouze za předpokladu, že součet délek bočních stran (AB + CD) je větší než součet délek bází (AC + BD).
Při použití této metody tedy můžeme najít úhly lichoběžníku po stranách bez známé výšky.
Závislost stran lichoběžníku
Nechť A A B jsou základny lichoběžníku, c a d strany.
Pokud jsou známy délky bází a bočních stran lichoběžníku, je nutné k výpočtu rohů použít trigonometrické funkce, jako je sinus, kosinus a tangens. Konkrétně lze použít tangensův vzorec: TG (α) = (c - d) / (b - a), kde α je úhel mezi boční stranou c a bází a. podobně, TG (β) = (C - d) / (A - b), kde β je úhel mezi boční stranou d a bází b.
Pokud jsou známy pouze délky bází a úhly lichoběžníku, lze strany nalézt pomocí trigonometrických funkcí. Pokud jsou například známy báze a A b A úhel α, lze použít sinusový vzorec: c = (b - a) / sin(α), kde c je délka boční strany odpovídající úhlu α. Podobně d = (b - a) / sin (β), kde β je úhel odpovídající straně d.
Takže pro nalezení úhlů a stran lichoběžníku bez známé výšky je nutné znát hodnoty délek bází a bočních stran, stejně jako úhly lichoběžníku. Pomocí trigonometrických funkcí lze vypočítat úhly a strany a určit úplnou konfiguraci lichoběžníku.
Kosinus lichoběžník
Nechte A A b - základny lichoběžníku, C-diagonál.
Pak se kosinus lichoběžníku vypočítá podle vzorce:
cos(α) = (a - b) / c
Kde α je úhel mezi úhlopříčkou a základnou délky a.
Tento vzorec umožňuje najít úhel lichoběžníku při známých délkách bází a úhlopříčce.
Když znáte hodnoty a, b A c, můžete vypočítat kosinus α a poté najít úhel α pomocí zpětné funkce kosinus (arkosinus).
Pomocí kosinus lichoběžníku lze tedy určit úhly lichoběžníku na známých stranách, aniž byste museli znát jeho výšku.
Tangens Trapezia
Pro nalezení tangens lichoběžníku můžete použít následující vzorec:
tg(alpha) = (a - b) / h
- tg(alpha) - tangens úhlu α
- a - délka větší základny lichoběžníku
- b - délka menší základny lichoběžníku
- h - výška lichoběžníku
Když znáte hodnoty délek lichoběžníkových bází a jejich výšku, můžete snadno vypočítat tangens úhlu α a použít jej v dalších výpočtech nebo úkolech.
Příklad řešení
Vezměme si příklad lichoběžníku se stranami a = 5, b = 9, c = 7 a d = 4. K vyřešení problému musíme najít úhly lichoběžníku.
1. Nejprve najdeme diagonálu lichoběžníku pomocí Pythagorovy věty. K tomu je třeba složit čtverce stran a A b.
Úhlopříčka lichoběžníku: √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 9^2) = √(25 + 81) = √106 ≈ 10.3.
2. Známe - li diagonálu lichoběžníku, můžeme použít kosinovou větu k nalezení úhlů lichoběžníku.
Úhel A mezi stranami d A a: cos(A) = (d^2 + a^2 - c^2) / (2 * d * a) = (4^2 + 5^2 - 7^2) / (2 * 4 * 5) = 0.1.
cos(A) = 0.1
Úhel B mezi stranami a A b: cos (B) = (a^2 + b^2-d^2) / (2 * a * B) = (5^2 + 9^2 - 4^2) / (2 * 5 * 9) = 0.9111.
cos(B) = 0.9111
3. Nalezené hodnoty kosinů lze použít k nalezení úhlů A A B pomocí trigonometrické funkce arckosinus.
Úhel A: a = arccos (0.1) ≈ 84.3°
Úhel B: B = arccos (0.9111) ≈ 25.7°
Úhel a je tedy 84.3° a úhel B je 25.7°.
Toto je příklad řešení problému najít lichoběžníkové rohy po stranách bez známé výšky. V každém případě je nutné vypočítat hodnoty kosinů pro každý úhel a poté použít arkosinus k získání úhlu.