Krychle je geometrické tělo, všechny jeho plochy jsou čtverce a všechna jeho žebra jsou stejně dlouhá. Je možné změnit objem krychle zvýšením každého jeho žebra 3krát?
Pro odpověď na tuto otázku zvažte vzorec pro výpočet objemu krychle. Objem krychle se rovná součinu délky každého jeho žebra, tj. V = A * a * a, kde a je délka žebra krychle.
Zvětšíme-li každé žebro krychle na 3 krát, bude to 3 * a. nastrčíme novou hodnotu každého žebra do vzorce pro objem krychle: V_new = (3 * a) * (3 * a) = 27 * a * A * a.
Objem krychle se tedy při zvětšení každého žebra 3krát zvýší 27krát. To znamená, že při změně délky každého žebra na trojnásobek se objem krychle výrazně zvýší.
Jak se mění objem krychle?
Když se každé žebro krychle zvětší 3krát, změní se také jeho objem.
Objem krychle se vypočítá podle vzorce: V = a^3, kde a je délka žebra.
Při zvětšení každého žebra na 3 krát bude nová délka žebra rovna a * 3.
Vložením nové hodnoty do vzorce získáme: V = (a * 3)^3 = 27a^3.
Objem krychle se tedy zvyšuje 27krát, když se každé žebro zvětší 3krát.
Při zvětšení každého žebra třikrát
Zvažte případ, kdy se každé žebro krychle zvětší 3krát. Při této změně se objem krychle změní úměrně stupni tři.
Původní objem krychle označíme jako V1. Po zvětšení každého žebra na 3 krát, získáme nový objem krychle-V2.
Pomocí vzorce pro objem krychle, V = a 3, kde a je délka žebra krychle, můžeme zaznamenat poměr mezi původním a novým objemem:
V2 = (3a) 3 = 3 3 a 3 = 27a 3
Nový objem krychle by se tak rovnal původnímu objemu, který je o 27 nižší. To znamená, že když se každé žebro zvětší 3krát, objem krychle se zvýší 27krát.
Výpočet objemu krychle
| Formule | Příklad |
|---|---|
| V = a 3 | Pokud je délka strany krychle (a) 2 cm, pak V = 2 3 = 8 cm 3 |
Při zvětšení každého žebra krychle na trojnásobek se všechny jeho strany rovnají. Proto vzorec pro výpočet objemu krychle zůstává stejný: V = a 3 .
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát délku jednoho z žeber krychle. Vztažením do krychle této hodnoty získáme objem krychle v kubických jednotkách délky.
Příklad: Pokud má původní krychle stranu dlouhou 5 cm, pak při zvětšení všech žeber na 3 krát, získáme novou krychli se stranou dlouhou 15 cm .výpočet objemu nové krychle se provádí podle vzorce V = 15 3 = 3375 cm 3.
Mějte na paměti, že při změně velikosti krychle se všechny jeho lineární rozměry změní úměrně. Objem krychle se tak bude měnit koordinovaně se zvyšováním nebo zmenšováním jeho hranic.
Příklady změn objemu krychle
Představme si kostku se stranou o délce 1 jednotky. Pokud se každá strana zvětší 3krát, změny provedou významné změny v objemu krychle. Níže jsou uvedeny příklady změn objemu krychle při zvětšení každého žebra 3krát:
- Původní objem krychle: 1 jednotka krychlová.
- Když je každé žebro 3x zvětšeno, dostaneme kostku se stranou dlouhou 3 jednotky. Nový objem krychle je 27 kusů krychlových.
- Pokud se každé žebro zvětší 3x znovu, dostaneme kostku se stranou dlouhou 9 jednotek. V tomto případě bude objem krychle 729 kusů krychlových.
- Pokračujeme tímto způsobem, každé následné zvýšení délky žebra na 3násobek povede ke zvýšení objemu krychle na 3.stupeň. Například, když se každé žebro zvětší 3x 4x, objem krychle bude 81*81*81 = 531441 jednotek krychlových.
Je tedy možné si všimnout, že při zvětšení délky každého žebra krychle na 3x objem krychle roste s každým zvětšením a dosahuje významných hodnot.