Vytvoření přímky tečné k obvodu je úkol, který se pravidelně vyskytuje v geometrii. Jedním z případů takové struktury je stavba přímé tečné k obvodu přes bod, který je mimo kružnici. Tato metoda se používá například při vytváření grafu tečny v rovině. Tento článek se bude zabývat podrobným algoritmem, který umožní stavět takovou přímku.
Než začneme stavět přímku tečny, budeme muset vypočítat souřadnice dotykového bodu. K tomu budeme potřebovat rovnici kružnice a souřadnice bodu, kterým by měla přímá tečna procházet. Při řešení systému rovnic najdeme souřadnice dotykového bodu přímky a kružnice.
Dále můžeme pomocí nalezených souřadnic vytvořit přímku tečny. K tomu lze použít speciální geometrický nástroj, jako je kruh nebo pravítko. Stavební algoritmus zahrnuje kroky, jako jsou: vedení přímky přes dotykový bod a střed kružnice, nalezení středu úsečky mezi dotykovým bodem a středem kružnice, vytvoření kolmice k tomuto úseku a vedení samotné přímky tečné.
Popis úlohy a základní pojmy
Kružnice je mnoho bodů, které se rovnají pevnému bodu zvanému střed kružnice. Obvod má poloměr-vzdálenost od středu kružnice k jakémukoli jejímu bodu. Chcete-li vytvořit tečnu k obvodu přes bod mimo kružnici, musíte znát souřadnice středu kružnice a poloměr.
Přímka tečna je přímka, která se výhradně v jednom bodě dotýká kruhu. Stavbu přímky tečné k obvodu lze provést pomocí geometrických konstrukcí, jako je stavba ortogonálního kružnice poloměrem rovným poloměru původního kružnice.
Bod mimo kružnici je bod, který nepatří kružnici, ale leží na přímce procházející jejím středem.
| Pojem | Popis |
| Kružnice | Mnoho bodů, které se rovnají středu kružnice |
| Poloměr kružnice | Vzdálenost od středu kruhu k jakémukoli bodu |
| Přímá tečna | Přímka, která se dotýká kružnice pouze v jednom bodě |
| Bod mimo obvod | Bod, který nepatří kružnici, ale leží na přímce, která prochází jejím středem |
Potřebné předběžné znalosti
Pro pochopení a konstrukci přímky tečny k obvodu přes bod mimo kružnici je nutné znát následující pojmy a definice:
- Kružnice je geometrické místo bodů v rovině, které se rovná danému bodu zvanému střed kružnice.
- Poloměr kružnice je segment, který spojuje střed kružnice s jakýmkoli bodem na kružnici.
- Průměr kružnice je segment, který spojuje dva body na kružnici a prochází středem kružnice.
- Úhel tangens je poměr opačné strany k vedlejší straně v pravoúhlém trojúhelníku.
- Tečna je přímka, která se dotýká křivky v jednom a pouze jednom bodě.
Pochopení těchto pojmů a schopnost s nimi pracovat vám pomůže úspěšně vybudovat přímku tečny k obvodu přes daný bod mimo obvod.
Souřadnice bodu a kružnice
Poloměr kružnice je vzdálenost od středu kružnice k jakémukoli bodu na ní. Poloměr kružnice je označen symbolem r a je konstantní pro daný kružnice.
Znalost souřadnic bodu a poloměru kružnice lze najít rovnici kružnice pomocí vzorce:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
kde (a, b) jsou souřadnice středu kruhu.
Když znáte rovnici kružnice, můžete najít bod dotyku přímky s kružnicí. A chcete-li vytvořit přímku tečny k obvodu přes daný bod, musíte znát další směr tečné. Směr tečny je určen poloměrem vedeným k dotykovému bodu. Přímka tečny tak bude kolmá k poloměru.
Když tedy znáte souřadnice bodu a kružnice, můžete vypočítat poloměr a rovnici kružnice a najít bod dotyku a poté pomocí tohoto bodu vytvořit přímku tečny k obvodu.
Získání souřadnic bodu mimo obvod
Pro získání souřadnic bodu mimo obvod:
1. Nastavte rovnici kružnice v obecné podobě. Rovnice kružnice má následující pohled: (x-a)2 + (y-b)2 = r2, kde (a, b) jsou souřadnice středu kružnice, r je poloměr kružnice.
2. Nastavte souřadnice bodu mimo kružnici, pro kterou je třeba vytvořit přímku tečny.
3. Vyřešte systém rovnic sestávající z rovnice kružnice a rovnice přímky procházející středem kružnice a daným bodem. Chcete-li to provést, vložte souřadnice daného bodu do rovnice přímky.
4. Najděte průsečíky přímky a kružnice vyřešením systému rovnic, který se skládá z rovnice kružnice a rovnice přímky. To lze provést substitucí rovnice přímky do rovnice kružnice a řešením výsledné kvadratické rovnice vzhledem k jedné z proměnných (x nebo y).
5. Vyberte z nalezených bodů ten, který je blíže k danému bodu.
6. Použijte nalezený bod jako bod na přímce tečny k obvodu.
Poznámka: Pokud se systém rovnic ukáže jako neřešitelný nebo má nekonečné množství řešení, znamená to, že přímka prochází středem kružnice.
Popis obvodu a jeho souřadnic
Souřadnice kružnice jsou obvykle definovány pomocí kartézského souřadnicového systému. Střed kružnice má souřadnice (x, y), kde x je absces (horizontální osa) a y je ordinát (vertikální osa). Poloměr kružnice je označen jako r a představuje vzdálenost od středu k libovolnému bodu na kružnici.
- Kružnice se středem v bodě (2, 3) a poloměrem 4 má rovnici (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16.
- Kružnice se středem v bodě (-1, 5) a poloměrem 2.5 má rovnici (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 6.25.
Znalost souřadnic středu a poloměru kružnice může určit její polohu v rovině a provést různé výpočty, jako je určení, zda bod kružnice patří, nebo nalezení průsečíků s jinými tvary.
Přímé koeficienty
Chcete-li vytvořit přímku tečny k obvodu přes bod mimo kružnici, musíte určit koeficienty této přímky. Na to existuje několik způsobů.
Jedním ze způsobů je použít rovnici přímky v obecné podobě: y = kx + b, kde k je koeficient sklonu přímky a b je volný člen. K určení těchto koeficientů lze použít dva body: jeden je bod na přímce a druhý je střed kružnice. Pokud znáte souřadnice těchto bodů, můžete vypočítat k A b.
Dalším způsobem je použití tangensova vzorce úhlu přímky: k = tan (α), kde α je úhel sklonu rovně vzhledem k kladnému směru osy Ox. K určení úhlu α lze použít geometrické poměry a poté vypočítat tan(α).
Použití kteréhokoli z těchto způsobů umožňuje určit koeficienty přímky a vytvořit tak přímku tečny k obvodu přes daný bod.
Hledání přímých koeficientů
Chcete-li vytvořit přímku tečny k obvodu přes daný bod mimo kružnici, musíte najít koeficienty přímky, které se budou dotýkat kružnice v tomto bodě.
Nechť je dána tečka a (x0, y0) mimo kružnici a kružnici se středem v bodě O (xc, yc) a poloměrem r.
K nalezení koeficientů přímky se používá rovnice tečny, která má:
kde L je koeficient rovný.
Pro řešení této rovnice je třeba zvážit tři situace:
| Případ | Podmínka | Hodnota koeficientu |
| 1. | y0 = yc | l = 0 |
| 2. | a0 < ac | l = - sqrt ((xc - x0) 2 + (ac - a0) 2) / r |
| 3. | a0 > ac | l = sqrt ((xc - x0) 2 + (ac - a0) 2) / r |
Po nalezení koeficientu l lze rovnici přímky zapsat do tvaru:
Tímto způsobem dostaneme rovnici přímky, která se bude dotýkat kruhu v daném bodě.
Vztah koeficientů přímky a rovnic přímky
Rovnice přímky procházející bodem (x0, y0) a s nakloněným koeficientem k lze zapsat jako:
| y - y0 | = | k(x - x0) |
Tato rovnice se nazývá rovnice přímky v úsecích, protože používá relativní souřadnice (x-x0) a (y-y0).
Koeficient k lze určit pomocí vlastností přímky a bodu, kterým prochází:
- Pokud je přímka svislá (nemá sklon), je rovnoběžná s osou y a její rovnice má tvar x = x0.
- Pokud je přímka vodorovná (má nulový sklon), je rovnoběžná s osou x a její rovnice má tvar y = y0.
- Pokud je přímka nakloněná, pak lze hodnotu k určit podle vzorce k = tan(α), kde α je úhel sklonu rovný.
Znalost souřadnic bodu (x0, y0) a hodnota koeficientu sklonu k, lze vytvořit rovnici přímky, která bude popisovat její polohu v prostoru.
Rovnice tečny k obvodu
Rovnice tečny k obvodu bude záviset na známých parametrech: souřadnice bodu, kterým tečna prochází, a rovnice kružnice.
Nechť je dána kružnice se středem v bodě M(x0, y0) a poloměrem r. K určení rovnice tečny k obvodu procházejícímu daným bodem a(x1, y1), lze použít následující algoritmus:
Pokud tedy znáte rovnici kružnice a souřadnice bodu, můžete v daném bodě najít rovnici tečny k kružnici.