Určení, zda graf funkce prochází daným bodem, hraje důležitou roli při řešení různých problémů pomocí algebry a matematické analýzy. Tato dovednost se často používá ve školním kurzu matematiky, včetně 8. třídy. Namísto vytváření grafu funkce a testování, zda prochází daným bodem přímo na grafu, lze k jeho definici použít algebraický přístup.
Hlavním nástrojem pro určení průchodu grafu funkce bodem je substituce souřadnic bodu do samotné funkce. Pokud je výsledný výraz nulový, pak bod leží na grafu funkce. S touto metodou lze určit průchod grafu i přes bod, aniž byste znali vzhled samotného grafu.
Dále se podívejte na příklad úlohy pomocí této metody. Pokud je výsledná rovnice po substituci nulová, pak graf funkce prochází daným bodem; pokud je výsledek odlišný od nuly, pak graf funkce neprochází daným bodem.
Substituční metoda
Pro aplikaci substituční metody je nutné mít rovnici funkce, která je nastavena jako f(x) = y, kde f (x) je samotná funkce a y je hodnota funkce v daném bodě (souřadnice y bodu).
Dále, k určení průchodu grafu funkce přes daný bod, je nutné vložit hodnotu x a y do rovnice funkce a ujistit se, že je pravdivá.
Metoda substituce je poměrně jednoduchý a pohodlný způsob, jak určit příslušnost bodu k grafu funkce, aniž byste museli vytvářet graf. Nemusí však být vždy efektivní, zejména při řešení složitých a vícečlenných funkcí.
Výpočet funkce v bodě
Chcete-li zjistit, zda graf funkce prochází daným bodem, musíte vypočítat hodnotu funkce v tomto bodě. K tomu je nutné znát analytický výraz funkce a do tohoto výrazu vložit hodnotu proměnné (souřadnice bodu).
Nechť je dána funkce f (x) = 2x + 5. Je třeba určit, zda její graf prochází bodem A(2, 9).
Za tímto účelem nastražíme hodnotu x = 2 do analytického výrazu funkce a vypočítáme hodnotu f (2):
f(2) = 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9
Hodnota funkce f (2) je 9, což odpovídá y souřadnici bodu A.to znamená, že graf funkce prochází daným bodem.
Studium znaménka rozdílu funkce a hodnot funkce v bodě
Chcete-li zjistit, zda graf funkce prochází daným bodem, můžete použít metodu studia znaménka rozdílu funkce a hodnot funkce v tomto bodě.
K tomu je třeba:
- Vypočítat hodnotu funkce v daném bodě.
- Vypočítat rozdíl mezi touto hodnotou a danou hodnotou funkce.
- Prozkoumejte znaménko výsledného rozdílu.
Pokud je rozdíl kladný, pak graf funkce přechází nad daný bod. Pokud je rozdíl záporný, pak graf funkce běží pod daným bodem. Pokud je rozdíl nulový, pak graf funkce prochází daným bodem.
Zvažte funkci f (x) = 2x-3 a bod A(2, 1).
Nejprve vypočítáme hodnotu funkce v bodě A:
Poté vypočítáme rozdíl mezi hodnotou funkce v bodě A a danou hodnotou funkce:
Protože rozdíl je nulový, graf funkce prochází bodem A (2, 1).
Parametrický způsob
K určení průchodu grafu funkce bodem (x, y) parametrickým způsobem je třeba následující:
Krok 1: zapište si funkci, jejíž graf je třeba zkontrolovat, jako parametrické rovnice x=f(t), y=g(t), kde T je nezávislá proměnná.
Krok 2: Vložte hodnotu t odpovídající danému bodu do parametrických rovnic a vyhledejte příslušné hodnoty x a y.
Krok 3: pokud se nalezené hodnoty x a y shodují se souřadnicemi bodu (x, y), pak graf funkce prochází daným bodem. Pokud se hodnoty neshodují, graf neprojde daným bodem.
Parametrický způsob umožňuje určit průchod grafu funkce přes bod, aniž by bylo nutné vykreslit graf a vypočítat hodnoty funkce v daném bodě. Tato metoda je obzvláště užitečná, když je daný bod mimo oblast konstrukce grafu nebo když graf funkce představuje složitou křivku.