V tomto článku se podíváme na funkci f (x) = x^3 - 3x a určíme počet intervalů, ve kterých klesá.
Nejprve si ujasněme, co znamená "sestupný interval". Interval poklesu funkce je mezera hodnot argumentu, kde funkce klesá. Jinými slovy, v tomto intervalu se hodnoty funkce s rostoucím argumentem snižují.
Abychom určili sestupné intervaly funkce f (x) = x^3 - 3x, musíme analyzovat její chování v různých oblastech hodnot X. k tomu můžeme použít odvozenou funkci.
Analýza intervalů poklesu funkce
- Dostaneme první derivát: f'(x) = 3x^2 - 3.
- Najdeme body, kde je derivace nulová: 3x^2-3 = 0. Při řešení rovnice dostaneme dva kořeny: x = -1 a x = 1.
- Vložíme nalezené hodnoty do druhé derivace: f"(x) = 6x.
- Určíme znaky druhého derivátu v okolí bodů x = -1 a x = 1. Při x < -1 je druhá derivace záporná, při -1 < x < 1 вторая производная положительна, при x >1 druhá derivace je opět záporná.
- Sestavíme tabulku značek první derivace a druhé derivace:
| Interval | f'(x) | f''(x) |
|---|---|---|
| x < -1 | - | - |
| -1 < x < 1 | + | + |
| x > 1 | - | - |
Funkce f (x) = x^3-3x má tedy dva sestupné intervaly: x < -1 и x >1.
Definice funkce
Funkce f (x) = x^3 - 3x je algebraická funkce, která zahrnuje proměnnou x vztaženou na třetí stupeň a vynásobenou 3 a poté odebírá 3x.
Intervaly poklesu funkce jsou hodnoty x, na kterých se hodnoty funkce snižují. Chcete-li najít intervaly poklesu funkce, musíte analyzovat její derivát. V tomto případě, pokud je derivace funkce f ' (x) = 3x^2 - 3 nulová, znamená to možnou maximální nebo minimální hodnotu funkce.
Hledání kořenů funkce
Pro nalezení kořenů funkce f(x) = x^3 - 3x je nutné vyřešit rovnici f (x) = 0. K tomu lze použít různé metody: zástupná metoda, metoda grafické reprezentace, Newtonova metoda atd.
Substituční metodou lze střídavě nastavovat hodnoty proměnné x a najít odpovídající hodnoty funkce. Pokud f (x) = 0, pak hodnota x bude kořenem funkce.
Lze také vytvořit graf funkce a najít průsečíky s osou absces. Pokud je hodnota funkce na průsečíku nulová, pak to bude kořen funkce.
Newtonovou metodou lze nalézt skutečné kořeny funkce. K tomu je nutné zvolit počáteční aproximaci a použít iterační vzorec, dokud se hodnota funkce nepřiblíží nule.
Funkce f (x) = x^3 - 3x má tedy tři kořeny, které lze nalézt pomocí různých metod.
Studie chování funkce v intervalech
Pro začátek najdeme body extrémů funkce, porovnáme její derivaci s nulou a vyřešíme výslednou rovnici:
- Nacházíme derivát: f'(x) = 3x^2 - 3
- Rovnáme derivát k nule: 3x^2 - 3 = 0
- Vyřešíme výslednou kvadratickou rovnici: x^2 - 1 = 0
- Dostáváme dvě hodnoty x: -1 a 1
Funkce má tedy dva body extrému: (-1, -2) a (1, -2).
Výzkum funkce v intervalech provádíme pomocí metody znaků. Zvažte hodnoty funkce ve třech intervalech:
- Interval ( - ∞ , -1)
- Interval (-1, 1)
- Interval (1,+∞)
- Do funkce vložíme libovolnou hodnotu x menší než -1: f(x) = x^3 - 3x
- Například při x = -2: f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2
- Znak funkce v tomto intervalu: negativní ( -)
- Nastavíme libovolnou hodnotu x mezi -1 a 1 do funkce: f(x) = x^3 - 3x
- Například při x = 0: f(0) = 0^3 - 3(0) = 0
- Znak funkce v tomto intervalu: pozitivní (+)
- Nastavíme libovolnou hodnotu x větší než 1 do funkce: f(x) = x^3 - 3x
- Například při x = 2: f(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2
- Znak funkce v tomto intervalu: pozitivní (+)
Funkce tedy f(x) = x^3 - 3x má jeden sestupný interval: ( - ∞ , -1) a dva vzestupné intervaly: (-1, 1) a (1, +∞).
Stanovení intervalů poklesu funkce
K určení intervalů poklesu funkce je nutné najít body, ve kterých je odvozená funkce nulová nebo neexistuje. V těchto bodech může funkce změnit svou povahu pohybu a přejít z poklesu na vzestup nebo naopak.
Chcete-li tyto body najít, musíte vyřešit rovnici f'(x) = 0 nebo zkontrolovat, zda v každém bodě existuje odvozená funkce. Vyřešením rovnice nebo nalezením bodů, ve kterých derivace neexistuje, je možné rozdělit číselnou osu na intervaly a analyzovat chování funkce na každém z nich.
Pro funkci f (x) = x^3-3x, najdeme derivát:
Najdeme body, ve kterých je derivace nulová:
Takže derivát je nula v bodech x = 1 a x = -1.
Analyzujeme chování funkce v intervalech:
3) při x > 1 se funkce f(x) monotónně zvyšuje.
Funkce f (x) = x^3 - 3x tedy klesá v intervalu -1 < x < 1.