Čísla s pěti číslicemi, která se skládají z neopakovatelných číslic, jsou zvláštní třídou čísel, která vyžaduje samostatnou úvahu. Vyjmenovat všechna taková čísla je poměrně časově náročný úkol, ale můžeme spočítat počet pětimístných čísel, která splňují určité podmínky.
Pokud je číslo s neopakovatelnými číslicemi děleno 10, mělo by skončit na 0. Pro nás je důležité určit, kolik pětimístných čísel má 0 na poslední pozici a ne opakující se čísla ve zbývajících čtyřech pozicích.
Pomocí kombinatoriky můžeme vypočítat počet možností pro každou pozici čísla s neopakovatelnými čísly. Začneme na poslední pozici. Protože by to mělo být 0, lze na tuto pozici umístit pouze jednu číslici - 0.
Počet pětimístných čísel s neopakovatelnými čísly
Pětimístná čísla s neopakovatelnými čísly lze získat vytvořením čísla z dostupných čísel bez opakování. První číslice přitom nemůže být nulová, protože by to dělalo číslo čtyřmístné.
Počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi lze spočítat následovně. První číslice může být vybrána z devíti možností (1 až 9), protože nula je vyloučena. Druhá číslice pak může být vybrána ze zbývajících osmi možností. Stejně tak může být třetí číslice vybrána ze sedmi možností, čtvrtá ze šesti a pátá z pěti. Celkový počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi se tedy rovná:
9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15120
Existuje tedy 15120 pětimístných čísel s neopakovatelnými čísly.
Rozdělení pětimístných čísel na 10
Chcete-li pochopit, kolik pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi je děleno 10, musíte zvážit poslední číslici každého čísla. Číslo se rozdělí na 10, pokud je poslední číslice nulová.
Celkem existuje 9 pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi, protože první číslice nemůže být nula (to změní číslo na čtyřmístné) a poslední číslice nemůže být nula (aby číslo bylo pětimístné).
Z těchto 9 čísel končí pouze jedno číslo na nulu, a to číslo 98760. Toto číslo je beze zbytku děleno 10, protože jeho poslední číslice je nulová.
Pouze jedno pětimístné číslo s neopakovatelnými číslicemi je tedy děleno 10.
Podmínky pro rozdělení do 10
Aby se číslo dělilo 10, musí končit nulou. Aby se pětimístné číslo s neopakovatelnými číslicemi dělilo 10, je nutné a dostatečné, aby skončilo číslem 0.
Máme tedy 9 možností výběru první číslice, 8 možností výběru druhé číslice ze zbývajících 9 číslic (nepočítáme-li číslici, která je již vybrána jako první), 7 možností výběru třetí číslice ze zbývajících 8 číslic, 6 možností výběru čtvrté číslice ze zbývajících 7 číslic a 1 možnost výběru páté číslice (protože v tomto kroku zbývá jen jedno číslo).
Celkový počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi dělenými 10 se tedy rovná součinu všech možností výběru číslic:
9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 3024
Existuje tedy 3 024 pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi, která se dělí na 10.
Vysvětlení vzniku pětimístných čísel
Celkový počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi lze tedy nalézt vynásobením počtu možných variant pro každou pozici v čísle:
- První číslice: 9 možností
- Druhá číslice: 8 možností
- Třetí číslice: 7 možností
- Čtvrtá číslice: 6 možností
- Pátá číslice: 5 možností
Celkový počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi se tedy rovná součinu všech variant: 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15,120.
Existuje tedy 15,120 pětimístných čísel s neopakovatelnými čísly. Nyní pojďme zjistit, kolik z nich je rozděleno do 10.
Vyloučení opakujících se čísel
Chcete-li najít počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi, které jsou dělitelné 10, musíte zvážit každou pozici čísla a odpovídající možná čísla.
Vzhledem k tomu, že poslední číslice by měla být 0, mohou být zbývající čtyři pozice vyplněny libovolnými opakujícími se čísly od 1 do 9.
Vytvoříme tabulku, ve které budeme pro tuto pozici procházet každou pozici čísla a všechna možná čísla:
| První pozice | Druhá pozice | Třetí pozice | Čtvrtá pozice | Pátá pozice |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| . | . | . | . | . |
A tak dále, kde každý řádek představuje jedno číslo s neopakovatelnými číslicemi.
Na základě tabulky je vidět, že pro každou pozici existuje 9 možných číslic (1-9). Vzhledem k tomu, že nuly na poslední pozici nejsou zvažovány, počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi dělenými 10 se rovná 9 * 9 * 8 * 7 * 1 = 4536.
Existuje tedy 4 536 pětimístných čísel s neopakovatelnými čísly, která se dělí na 10.
Počet čísel dělených 10
K určení počtu pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi, které jsou dělitelné 10, je třeba vzít v úvahu několik faktorů.
První podmínkou, aby se číslo dělilo 10, je, že musí končit nulou. Vzhledem k tomu, že číslo se skládá z pěti číslic, může být poslední číslice pouze nulová.
Druhá podmínka je, že všechny číslice čísla musí být různé. To znamená, že první čtyři číslice mohou být libovolná čísla kromě nuly, protože nula je již obsazena Poslední pozicí čísla.
K nalezení počtu čísel, která splňují podmínku, tedy můžeme použít princip násobení. V první pozici může být kterákoli z 9 číslic (1-9), ve druhé může být kterákoli z 9 číslic (0-9, s výjimkou čísla již použitého na první pozici). Stejně tak třetí pozice může mít kteroukoli z 8 číslic a čtvrtá může mít kteroukoli ze 7 číslic.
Počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi dělenými 10 se tedy rovná součinu počtu variant každé pozice: 9 * 9 * 8 * 7 = 4536.
Analyzovali jsme tedy počet pětimístných čísel s neopakovatelnými číslicemi, které jsou dělitelné 10.
Podle podmínek úlohy musí tato čísla končit na nulu, takže poslední číslice může být pouze 0.
Vzhledem k tomu, že se jiná čísla neopakují, mohou být jakákoli od 1 do 9. Takže máme 9 možností pro první číslici, 8 možností pro druhou, 7 možností pro třetí a 6 možností pro čtvrtou, což nám dává 9 * 8 * 7 * 6 = 3024 možností umístění číslic.
Protože se na konci přidá 0, budeme muset zkontrolovat, kolik z těchto možností je rozděleno do 10.
Každé číslo bude dělitelné 10, pokud a pouze pokud je dělitelné 2 a 5. Protože 2 již existuje ve všech variantách (dvě z deseti číslic jsou vybrány sudými čísly), musíme zkontrolovat, kolik z 3 024 možností obsahuje číslo 5.
V každé pozici si můžeme vybrat 5 nebo 9, protože 5 by znamenalo mít číslo 5 v čísle a 9 ne. Takže u nás 9 * 9 * 9 * 9 = 6561 možností bez čísla 5 a 5 * 9 * 9 * 9 = 3645 možností s číslem 5.
Celkem z 3 024 možností umístění číslic se 3 645 dělí na 10 a jsou to pětimístná čísla s neopakovatelnými číslicemi, která se dělí na 10.