Třímístná čísla s opakujícími se čísly - jsou to čísla složená ze tří číslic, ve kterých se jedna nebo více číslic opakuje. Například 122, 344, 555 jsou všechna třímístná čísla s opakujícími se čísly. Zajímalo by mě, kolik takových čísel se dá dohromady.
Abychom tento problém vyřešili, můžeme každou ze tří číslic zvážit samostatně. První číslice může být jakákoli od 1 do 9, protože čísla by neměla začínat od nuly. Druhá a třetí číslice mohou být také libovolné od 0 do 9.
Celkový počet třímístných čísel s opakujícími se číslicemi se tedy rovná součinu počtu variant pro každou číslici: 9 (pro první číslici) * 10 (pro druhou číslici) * 10 (pro třetí číslici) = 900.
V rozmezí od 100 do 999 tedy existuje 900 třímístných čísel s opakujícími se čísly.
Definice třímístných čísel
V trojciferných číslech má každá pozice čísla svůj význam. V pořadí od levé k pravé se tyto pozice nazývají stovky, desítky a jednotky. Například v čísle 123 jsou stovky 1, desítky jsou 2 a jednotky jsou 3.
Třímístná čísla mohou obsahovat duplicitní čísla. Opakování čísla znamená, že stejná číslice se může vyskytnout ve dvou nebo třech různých pozicích čísla. Například číslo 122 obsahuje opakující se číslici 2.
Existuje 900 třímístných čísel s opakujícími se čísly. Pro výpočet tohoto množství lze použít principy kombinatoriky. Například číslo druhu Aab, kde a A B jsou různá čísla, může být 9\*9=81 způsobem. A čísla druhu AAA mohou být složena 9 Způsoby (111 až 999).
Co jsou opakující se čísla?
V trojciferných číslech existuje několik možností opakujících se čísel:
- Opakující se čísla na prvním a druhém místě (např. 122)
- Opakující se čísla na druhém a třetím místě (např. 233)
- Opakující se čísla na prvním a třetím místě (např. 322)
- Všechny číslice v čísle se opakují (např. 333)
Počet třímístných čísel s opakujícími se čísly lze vypočítat pomocí jednoduchých kombinačních vzorců. Každá varianta má 9 možností duplicitních číslic (1 až 9) a pro každou možnost výběru duplicitních číslic existuje 10 možností pro zbývající číslici.
Celkový počet třímístných čísel s opakujícími se číslicemi je tedy 9 (počet možností duplicitních číslic) * 10 (počet možností pro zbývající číslici) * 3 (počet možností umístění duplicitních číslic) = 270.
Funkce třímístných čísel s opakujícími se čísly
Počet třímístných čísel s opakujícími se čísly lze vypočítat pomocí kombinatoriky. V případě, že jsou všechny tři číslice stejné, existuje pouze jedno takové číslo. Například číslo 111 je jediné třímístné číslo, které se skládá pouze Z číslice 1.
Pokud se dvě číslice v čísle opakují a třetí se liší, pak lze počet těchto čísel vypočítat následovně: vybereme dvě pozice ze tří pro umístění opakujících se číslic a poté pro každou pozici vybereme jednu z devíti možných číslic (s výjimkou nuly a již zvolené číslice). Počet třímístných čísel se dvěma opakujícími se číslicemi je tedy 3 * 9 = 27.
Když jsou všechny tři číslice v čísle různé, počet třímístných čísel s opakujícími se číslicemi se rovná počtu permutací tří různých číslic. Takové množství lze vypočítat jako součin počtu možných číslic pro každou pozici: 9 * 9 * 8 = 648. Zde může být první číslice jakákoli od 1 do 9, druhá a třetí číslice mohou být jakékoli od 0 do 9 kromě již vybraných číslic.
Trojciferná čísla s opakujícími se čísly jsou tedy zajímavá pro studium kombinatoriky a lze je vypočítat pomocí jednoduchých pravidel počítání.
| Počet opakujících se čísel | Počet třímístných čísel |
|---|---|
| 0 | 648 |
| 1 | 9 |
| 2 | 27 |
| 3 | 1 |
Jak určíte třímístné číslo s opakujícími se čísly?
Chcete-li určit třímístné číslo s opakujícími se čísly, musíte vzít v úvahu základní pravidla kombinatoriky a pochopit, jaké možnosti máme.
Existují dva případy, kdy třímístné číslo může mít opakující se čísla:
1. Když jsou všechny tři číslice čísla stejná.
2. Když jsou dvě číslice čísla stejná a třetí číslice se liší.
V prvním případě je možností pouze 9, protože můžeme mít čísla od 111 do 999. To může být prezentováno jako seznam, kde každé číslo začne stejnou číslicí a uvede všechny možné možnosti:
Ve druhém případě existuje více možností, protože máme 9 možností pro první číslici čísla, 9 možností pro druhou číslici čísla a pouze 1 možnost pro třetí číslici čísla (protože by se měla lišit od prvních dvou). To lze představit jako seznam všech možných kombinací:
Vše tedy existuje 9+9*9=90 třímístných čísel s opakujícími se čísly.