Trojúhelník je jedním z nejjednodušších a nejběžnějších tvarů v geometrii. Víme, že jakékoli tři body, které neleží na jedné přímce, mohou tvořit trojúhelník. Zajímavé je, že existuje obrovské množství způsobů, jak vybrat tři body uvnitř mnohoúhelníku, včetně konvexního šestiúhelníku.
Když studujeme geometrii a trojúhelníky, obvykle se díváme na trojúhelníky tvořené stranami mnohoúhelníku. Pokud si však položíme otázku, kolik existuje trojúhelníků, které mají alespoň jednu stranu na stranách mnohoúhelníku, pak bude odpověď mnohem složitější a zajímavější.
K zodpovězení této otázky můžeme použít kombinované metody a princip výběru. Podívejme se na každou stranu šestiúhelníku a představme si, jaké trojúhelníky lze s touto stranou vytvořit. Pokud použijeme kombinační metody pro každou stranu a sečteme výsledné hodnoty, získáme celkový počet trojúhelníků, které lze vytvořit uvnitř konvexního šestiúhelníku.
Kolik trojúhelníků
Konvexní šestiúhelník se skládá ze šesti vrcholů a šesti stran. Chcete-li zjistit, kolik trojúhelníků lze vytvořit uvnitř takového šestiúhelníku, můžete použít vzorec kombinatoriky.
Chcete-li vytvořit trojúhelník, musíte vybrat 3 vrcholy z celkového počtu. V tomto případě ze šesti možných vrcholů musíte vybrat pouze 3, protože každý trojúhelník se skládá ze tří stran.
Výraz pro počet trojúhelníků lze zapsat následovně:
Kde C3 6 označuje počet kombinací tří prvků ze šesti. Obecně lze počet kombinací nalézt podle vzorce:
Ck n = n! / (k!(n-k)!)
Kde n! označuje faktoriál čísla n, což je součin všech přirozených čísel od 1 do n.
Použijeme-li tento vzorec k úkolu, získáme:
C3 6 = 6! / (3!(6-3)!) = 6! / (3!3!)
Při výpočtu tohoto výrazu získáme:
C3 6 = 20
Uvnitř tohoto konvexního šestiúhelníku lze tedy vytvořit 20 trojúhelníků.
Kolik můžete najít trojúhelníků uvnitř konvexního šestiúhelníku?
Uvnitř konvexního šestiúhelníku lze nalézt několik trojúhelníků. K určení jejich počtu můžeme použít vzorec, který platí pro jakýkoli konvexní polygon:
| Počet vrcholů | Počet trojúhelníků |
|---|---|
| 3 | 1 |
| 4 | 1 |
| 5 | 2 |
| 6 | 4 |
| 7 | 8 |
| 8 | 16 |
Uvnitř konvexního šestiúhelníku lze tedy najít 4 trojúhelníky.
Počet trojúhelníků závisí na počtu vrcholů
Počet trojúhelníků, které lze vytvořit uvnitř konvexního šestiúhelníku, závisí na počtu jeho vrcholů.
Pro začátek spočítejme počet trojúhelníků, které lze vytvořit pomocí libovolných tři vrcholy šestiúhelníku. Toto číslo je známé jako" počet kombinací "nebo"binomický koeficient". U šestiúhelníku se šesti vrcholy by to bylo 20 trojúhelníků.
Uvnitř konvexního šestiúhelníku jsou však další trojúhelníky, které lze vytvořit pomocí více než tří vrcholů. Například si můžeme vybrat jeden vrchol jako "střed" a spojit jej se všemi ostatními pěti vrcholy. Takže dostaneme pět trojúhelníků.
Celkový počet trojúhelníků, které lze vytvořit uvnitř daného šestiúhelníku, se tedy rovná 20 + 5 = 25 trojúhelníkům.
Jak určíte počet trojúhelníků?
Chcete-li určit počet trojúhelníků uvnitř konvexního šestiúhelníku, podívejme se na některá základní pravidla a použijeme je na daný úkol.
1. Všechny vrcholy šestiúhelníku jsou vrcholy potenciálních trojúhelníků.
2. Každá strana šestiúhelníku může být stranou pouze jednoho trojúhelníku.
3. Aby se trojúhelník vytvořil, je nutné, aby v něm byly dva další vrcholy šestiúhelníku.
4. Chcete-li tedy vytvořit trojúhelníky, musíte vybrat jednu stranu šestiúhelníku a poté vybrat dva vrcholy jiné než konce této strany.
Vezměte si šestiúhelník a přiřaďte každému jeho vrcholu číslo 1 až 6. Poté budeme procházet všemi stranami šestiúhelníku počínaje prvním a pro každou stranu vyberte dva vrcholy, které vytvoří trojúhelník.
V tomto konvexním šestiúhelníku tedy existuje 15 trojúhelníků.
Vzorec pro výpočet počtu trojúhelníků
K určení počtu trojúhelníků obsažených uvnitř konvexního šestiúhelníku lze použít vzorec založený na kombinacích. Počet trojúhelníků se vypočítá podle vzorce:
- ℜ-počet trojúhelníků;
- n-počet vrcholů mnohoúhelníku (v tomto případě šestiúhelníku).
Pro šestiúhelník (n=6), vzorec bude vypadat:
Uvnitř konvexního šestiúhelníku je tedy 20 trojúhelníků.
Příklad nalezení počtu trojúhelníků
K určení počtu trojúhelníků, které lze vytvořit uvnitř konvexního šestiúhelníku, můžeme použít kombinatoriku.
Nejprve se podívejme na všechny možné způsoby, jak vytvořit trojúhelník:
- Vybereme jednu stranu šestiúhelníku a spojíme ji s dalšími dvěma stranami.
- Vybereme dvě strany šestiúhelníku a spojíme je k sobě a poté spojíme jeden ze získaných bodů s jakoukoli druhou stranou.
Pomocí těchto způsobů vytváření trojúhelníků můžeme najít počet možných kombinací:
- Vyberte jednu stranu šestiúhelníku ze šesti možných: 6 způsobů.
- Vyberte další dvě strany z pěti zbývajících: C(5, 2) = 10 způsobů.
- Vyberte dvě strany šestiúhelníku ze šesti možných: C (6, 2) = 15 způsobů.
- Vyberte jeden ze získaných bodů a připojte jej k jakékoli jiné zbývající straně šestiúhelníku: 5 způsobů.
Součtem počtu způsobů, jak vytvořit trojúhelníky, získáme:
6 způsobů + 10 způsobů + 15 způsobů + 5 způsobů = 36 způsobů.
Uvnitř konvexního šestiúhelníku lze tedy vytvořit 36 trojúhelníků.