Lichoběžník je čtyřúhelník, který má jeden pár protilehlých stran rovnoběžný. Rovnoramenný lichoběžník je lichoběžník, který má boky stejné. Jsou však úhly v rovnoramenném lichoběžníku stejné? Pojďme se na to podívat.
Předpokládejme, že máme rovnoramenný lichoběžník. Vzhledem k tomu, že strany jsou stejné, rovnoběžné strany jsou také stejné. Označíme lichoběžníkovou základnu jako a, horní stranu jako b, boky jako c a spodní rohy jako A A B.
Podle vlastností lichoběžníku tvoří další úhly A A B další úhly se základnou lichoběžníku. Na základě rovnoramennosti lichoběžníku lze tedy říci, že úhly A a B jsou si rovny. To znamená, že úhly s horní základnou lichoběžníku jsou stejné.
Definice a vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku
Základní vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku:
| Stránky | Dvě paralelní strany se nazývají báze, jsou označeny a A b. |
| Úhly | Lichoběžník má dva stejné úhly, které jsou naproti základům a nazývají se hlavní úhly. |
| Bissectris roh | Bissectris hlavního úhlu rozděluje protilehlou základnu na dvě stejné části. |
| Median | Lichoběžníkový medián je segment spojující středy neparallových stran. Je rovnoběžná se základnami a rovná se půl milionu bází. |
| Úhlopříčka | Dvě diagonály lichoběžníku se protínají v bodě, který každou z nich rozděluje na polovinu. Diagonály jsou rozděleny průsečíkem do tří stejných úseků. |
Je důležité poznamenat, že úhly v rovnoramenném lichoběžníku nejsou vždy stejné. Základní úhly jsou však vždy stejné, což je klíčová vlastnost tohoto geometrického tvaru.
Stejné úhly u bází rovnoramenného lichoběžníku
Ať máme rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde AB a CD základny a BC a AD boky. Vezměme si bod M na straně AB, který neleží na straně CD. Provedeme přímé MC a MD. Vzhledem k tomu, že lichoběžník ABCD je rovnoramenný, BM=DM, BC=AD a úhly ABM a MDA jsou si rovny.
| Roh | Míra úhlu |
|---|---|
| ABM | α |
| MDA | α |
Úhly ABM a MDA jsou tedy stejné a jsou označeny jako α.
Z rovnosti úhlů ABM a MDA vyplývá, že úhly AMB a CMD jsou také stejné, protože doplňují úhly ABM a MDA na 180°. Označíme je také jako a.
| Roh | Míra úhlu |
|---|---|
| AMB | α |
| CMD | α |
Úhly AMB a CMD jsou tedy také stejné a jsou označeny jako α.
Z rovnosti všech úhlů u bází rovnoramenného lichoběžníku vyplývá, že mají stejnou míru a jsou si navzájem rovni.
Stejné úhly při základech a bočních stranách rovnoramenného lichoběžníku
Abychom pochopili, zda jsou úhly v rovnoramenném lichoběžníku stejné, je třeba věnovat pozornost základům a bočním stranám. Z toho lze usuzovat, že:
| Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku | Důsledek pro rohy |
|---|---|
| Důvody jsou stejné | Úhly v základech jsou si rovny |
| Strany jsou stejné | Úhly na bočních stranách jsou si rovny |
Je však třeba si uvědomit, že stejné úhly v lichoběžníku mohou být nejen při základech a bočních stranách, ale také při úhlopříčkách. K tomu je nutné, aby úhlopříčky lichoběžníku byly stejné.
Příklad: výpočet stejných úhlů v rovnoramenném lichoběžníku
Chcete-li vypočítat stejné úhly v rovnoramenném lichoběžníku, musíte znát hodnoty bází a úhlu s větší základnou.
Ať máme rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde AB je větší základna, CD je menší základna a úhel a je úhel s větší základnou.
Pro výpočet rovných úhlů použijeme větu o součtu úhlů trojúhelníku:
Úhel A + úhel a + úhel B + úhel C = 180°
Vzhledem k tomu, že úhly B A C v rovnoramenném lichoběžníku jsou stejné, jejich součet bude 2B:
2B + 2A = 180°
Výslednou rovnici lze rozdělit na 2 a najít hodnotu jednoho ze stejných úhlů:
B + A = 90°
Chcete-li tedy najít stejné úhly v rovnoramenném lichoběžníku, musíte jednoduše složit hodnotu úhlu na větší základně a rozdělit výsledný součet na 2.