Kvadratická rovnice - je to rovnice druhu ax^2 + bx + c = 0, kde a, b A c jsou libovolná čísla, přičemž a ≠ 0. Jeho název je odvozen od proměnné X, která se rovná dvěma. Řešení kvadratické rovnice je jedním ze základních úkolů algebry a nalezení kořene z jeho diskriminantu pomáhá určit, kolik kořenů má tato rovnice. V tomto článku se podíváme na to, jak najít kořen z diskriminantu a použít jej k nalezení kořenů kvadratické rovnice.
Diskriminant kvadratické rovnice se vypočítá podle vzorce D = b^2-4ac. Je klíčovým ukazatelem při řešení rovnice, protože určuje počet a typ kořenů. Pokud je D > 0, rovnice má dva různé věcné kořeny. Pokud je D = 0, pak se kořeny rovnice shodují a jsou reálná čísla. Pokud je D < 0, rovnice má dva komplexní kořeny.
Kořen z diskriminantu (označený jako √D) lze nalézt pomocí odmocniny. Pokud je D kladné číslo, pak √D bude reálné číslo. Pokud je d záporné, pak √D bude komplexní číslo. Je důležité poznamenat, že kořen záporného čísla je imaginární číslo.
Definice kvadratické rovnice
ax 2 + bx + c = 0
kde a, b a c známá čísla a a ≠ 0.
Tato rovnice se nazývá kvadratická kvůli přítomnosti proměnné ve 2.stupni (x 2).
Hlavním úkolem při řešení kvadratické rovnice je najít hodnotu proměnné x levá a pravá část rovnice se navzájem rovnají.
Řešením kvadratické rovnice jsou hodnoty proměnné x, které uspokojují rovnost:
ax 2 + bx + c = 0
Pokud má kvadratická rovnice dvě různá řešení, má dva kořeny. Pokud je řešení jedno, rovnice má jeden kořen. A v některých případech kvadratická rovnice nemá řešení.
Pro nalezení kořenů kvadratické rovnice je nutné použít diskriminační vzorec:
| Diskriminant (D) | Počet kořenů |
| D > 0 | Dva různé kořeny |
| D = 0 | Jeden kořen |
| D < 0 | Rovnice nemá řešení |
Vzorec pro nalezení řešení kvadratické rovnice:
x1 = (-b + √D) / 2a
x2 = (-b - √D) / 2a
Kde x1 a x2 - kořeny kvadratické rovnice, a - koeficient při x 2 , b - koeficient při x, D - diskriminant.
Je třeba poznamenat, že pro výpočet kořenů je nutné vypočítat hodnotu diskriminanta a ujistit se, že je nezáporný.
Diskriminační vzorec
Diskriminant - je to matematický koncept, který nám umožňuje určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. Vypočítá se podle vzorce:
Zde a, b a c - to jsou koeficienty kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0. Vzorec diskriminace nám umožňuje určit, který ze tří možných případů je proveden:
- Pokud D > 0 rovnice má dva různé kořeny.
- Pokud D = 0,, rovnice má jeden kořen (shodují se).
- Pokud D < 0, Rovnice nemá žádné kořeny, protože její graf nepřekračuje osu absces.
Znalost diskriminanta nám umožňuje pochopit, jaké řešení má kvadratická rovnice a jaké kroky je třeba udělat, abychom ji vyřešili.
Jak najít diskriminanta
Vzorec pro výpočet diskriminanta kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0 je následující:
- $$D = b^2-4ac$$, pokud a, b A C čísla.
- Pokud je $ $ D > 0$$, rovnice má dva různé skutečné kořeny.
- Pokud $ $ d = 0$$$, rovnice má dva stejné skutečné kořeny.
- Pokud je $ $ D < 0$$, rovnice má dva komplexní kořeny, což znamená, že kořeny jsou imaginární čísla nebo komplexní.
Když známe hodnotu diskriminanta, můžeme odvodit kořeny kvadratické rovnice pomocí následujících vzorců:
- Pokud $ $ $ d > 0$$$, pak kořeny rovnice lze nalézt podle vzorců: $x_1 = \frac>$$ $ a $ x_2 = \frac>$$$$.
- Pokud $ $ $ d = 0$$$, pak kořeny rovnice lze nalézt podle vzorce: $ $ x = \frac$$$$.
- Pokud $ $ D < 0$$, то корни уравнения являются комплексными числами и могут быть представлены в виде: $$x_1 = \frac>$$ a $ $ x_2 = \frac>$$$, kde i je imaginární jednotka.
Nyní, když víte, jak najít diskriminanta a jak jej použít k určení kořenů kvadratické rovnice, můžete tyto rovnice snadno řešit a analyzovat jejich řešení.
Když je diskriminant pod nulou
Když je diskriminant menší než nula, kvadratická rovnice nemá skutečné kořeny.
Matematicky to znamená, že jeho graf nepřekračuje osu x. místo toho je umístěn zcela nad nebo pod osou x.
K tomu lze použít výraz pod kořenem diskriminanta. Pokud je negativní, pak je diskriminant menší než nula a Rovnice nemá kořeny.
Například při řešení rovnice ax 2 + bx + c = 0 diskriminant se vypočítává podle vzorce D = b 2 - 4ac. Pokud je výsledná hodnota diskriminační, pak není důvod.
Místo reálných kořenů může mít rovnice Komplexní (imaginární) kořeny. K jejich výpočtu lze použít komplexní čísla.
Je důležité vzít v úvahu, že v případě negativního diskriminanta bude řešení rovnice prezentováno jako komplexní čísla, nikoli skutečná čísla.
Když je diskriminant nulový
Pro nalezení kořenů kvadratické rovnice druhu ax^2 + bx + c = 0, kde a, b A C jsou koeficienty, je nutné vypočítat hodnotu diskriminanta D podle vzorce D = B^2 - 4ac. Pokud je D = 0, pak má rovnice pouze jeden kořen, který lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
| Kořen rovnice | Formule |
|---|---|
| x | x = -b / (2a) |
Pokud je tedy diskriminant nulový, rovnice má pouze jeden kořen, který lze nalézt podle vzorce x = - b / (2A).
S vědomím této funkce ji můžeme použít v praktických výpočtech. Pokud například potřebujeme najít kořeny kvadratické rovnice a při výpočtu diskriminanta dostaneme hodnotu 0, pak to naznačuje, že rovnice má pouze jeden kořen, který lze nalézt pomocí vzorce x = -b / (2A).
Když je diskriminant větší než nula
Když je diskriminant větší než nula, znamená to, že kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.
Pro nalezení kořenů z diskriminantu je nutné vyřešit kvadratickou rovnici v následujícím tvaru:
Pokud je diskriminant D větší než nula, lze kořeny rovnice nalézt pomocí vzorce:
Kde a, b A c jsou koeficienty kvadratické rovnice.
Nalezené hodnoty x1 a x2 jsou to kořeny rovnice představující průsečíky grafu funkce s osou x.
Při použití těchto vzorců je třeba věnovat pozornost znaménkům operací a správně vypočítat hodnoty, abyste získali správné kořeny rovnice.
Jak najít kořeny z diskriminanta
1. Vypočítat diskriminant podle vzorce: D = b2-4ac, kde a, b A c jsou koeficienty kvadratické rovnice.
2. Určete typ kořenů podle významu diskriminanta:
- Pokud je D > 0, rovnice má dva různé věcné kořeny;
- Pokud je D = 0, pak má rovnice jeden věcný kořen, který se nazývá kořen násobku 2;
- Pokud je D < 0, Rovnice nemá skutečné kořeny, ale má dva imaginární kořeny.
3. Pokud má rovnice skutečné kořeny, lze je nalézt podle vzorce:
4. Pokud má rovnice imaginární kořeny, lze je představit jako:
Kde i je imaginární jednotka a odmocnina z čísla.
Znalost diskriminanta pomáhá určit, jaké množství a jaký typ kořenů má kvadratická rovnice. To vám umožní efektivně řešit úkoly a vytvářet grafy čtvercových funkcí.