Sinus – je to jedna z hlavních trigonometrických funkcí, která je široce používána v matematice, fyzice, inženýrství a dalších oblastech vědy. Sinus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definován poměrem protilehlého katetu k přeponě. Sinus je zároveň periodická funkce, jejíž hodnota může mít hodnoty od -1 do 1.
Pro výpočet sinusu úhlu existuje speciální vzorec:
sin (α) = protilehlý katetr / přepona
V tomto vzorci α označuje měřený úhel, zatímco protilehlý katetr a přepona představují strany pravoúhlého trojúhelníku. Poměr protilehlého katetu k přeponě a je hodnotou sinusu daného úhlu.
Příkladem výpočtu sinusu může být následující úkol: u pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 5 a úhlem α 30 stupňů najděte hodnotu sinusu. Tím, že vložíme známé hodnoty do vzorce, získáme:
sin (30°) = protijedoucí katetr / 5
Chcete-li tedy najít hodnotu sinusu úhlu 30 stupňů, je nutné rozdělit protilehlý katetr na 5. Vypočítáním tohoto poměru získáme hodnotu sinusu.
Jak najít sinus: vzorec a příklady výpočtu
sin (α) = opačný katetr / přepona
Kde α je úhel v trojúhelníku, jehož protilehlá strana se rovná délce protilehlého katetu.
K nalezení sinusu úhlu α lze použít tabulky hodnot trigonometrických funkcí nebo kalkulačky s funkcí sinusu. Tabulky uvádějí již vypočítané hodnoty sinusů pro různé úhly. Pokud však nemáte po ruce tabulku nebo kalkulačku, můžete použít speciální aproximaci založenou na rovnostněpravděpodobnosti přibližných hodnot sinusů.
Podívejme se na příklad:
Ať máme pravoúhlý trojúhelník se stranami a = 3 cm, b = 4 cm a přepona c = 5 cm. Musíme najít sinus úhlu α.
Pomocí vzorce sin (α) = protilehlý katetr / přepona dostaneme:
sin(α) = a / c = 3 / 5 = 0,6
Sinus úhlu α je tedy 0,6.
Když znáte vzorec a umíte jej použít, můžete snadno vypočítat sinusy úhlů v trojúhelnících a dalších geometrických obrazcích.
Sinus: definice a vlastnosti
Je důležité poznamenat následující vlastnosti sinusu:
- Hodnota sinusu leží v intervalu -1 až 1, včetně konců.
- Sinus je lichá funkce, tj. sin(-x)=-sin(x).
- Sinus je periodický, s posunem velikosti 2π, což znamená sin(x+2π)=sin(x).
- Maximální hodnota sinusu je 1 a je dosaženo při x=π/2.
- Minimální hodnota sinusu je -1 a je dosaženo při x=-π/2.
- Sinus má v celém grafu mnoho bodů sklonu.
Použití sinusu umožňuje řešit širokou škálu problémů souvisejících s geometrií, fyzikou a také v matematické analýze a dalších oblastech vědy a techniky.
Sinusový vzorec přes protilehlý katetr
Tento vzorec umožňuje najít sinus úhlu, pokud jsou známy délky protilehlého katetu (strany pravoúhlého trojúhelníku ležícího naproti danému úhlu) a přepony (nejdelší strana trojúhelníku).
Vzorec je následující:
sin (α) = opačný katetr / přepona
- sin(α) - význam sinusu úhlu α;
- opačný katetr - délka strany ležící naproti rohu α;
- přepona - délka nejdelší strany trojúhelníku.
Pomocí tohoto vzorce lze snadno a rychle vypočítat hodnotu sinusu úhlu v pravoúhlém trojúhelníku, pokud jsou známy příslušné strany. To je zvláště užitečné při řešení úloh trigonometrie.
Sinusový vzorec přes přeponu
Sinusový vzorec je matematický výraz, který umožňuje najít hodnotu sinusu úhlu v pravoúhlém trojúhelníku. Pokud jsou známy hodnoty dvou stran trojúhelníku, včetně přepony, pak vzorec sinusu umožňuje najít hodnotu sinusu úhlu:
sin (A) = opačná strana / přepona
kde sin (a) je hodnota sinusu úhlu a, opačná strana je strana trojúhelníku, která leží naproti rohu A, přepona je největší strana trojúhelníku, opačná k přímému rohu.
Pro použití sinusového vzorce přes přeponu je nutné znát hodnoty opačné strany a přepony. Při znalosti těchto hodnot lze snadno vypočítat sinus úhlu.
Příklady výpočtu sinusu
Pro výpočet sinusu úhlu je nutné vynásobit sinus daného úhlu a délku přepony pravoúhlého trojúhelníku. Podívejme se na několik příkladů:
Příklad 1:
Je to pravoúhlý trojúhelník ABC, úhel a je 30 stupňů, přepona AB je 10 cm.
Nejprve najdeme délku protilehlého katetu BC pomocí Pythagorovy věty:
Délka protilehlého katetu je rovna:
AC = √(100-BC2) = √(100 - 52) = √(100 - 25) = √75 ≈ 8.66 viz
Nyní můžeme najít sinus úhlu a:
sin(A) = BC / AB = BC / 10 = 5 / 10 = 0.5
Odpověď: sinus úhlu a je 0.5.
Příklad 2:
Je to pravoúhlý trojúhelník XYZ, úhel X je 45 stupňů, přepona XZ je 8 cm.
Nejprve najdeme délku protilehlého katetu YZ pomocí Pythagorovy věty:
Délka protilehlého katetu je rovna:
XY = √(64-YZ2) = √(64 - 42) = √(64 - 16) = √48 ≈ 6.93 viz
Nyní můžeme najít sinus úhlu x:
sin(X) = YZ / XZ = 4 / 8 = 0.5
Odpověď: sinus úhlu X je 0.5.
Použití sinusové tabulky
Tabulka sinusů je šikovný nástroj pro nalezení hodnot sinusu úhlu, aniž byste jej museli pokaždé vypočítat ručně. Tabulka obsahuje hodnoty sinusu pro různé úhly od 0 do 90 stupňů. Pomocí tabulky sinusů lze rychle určit hodnoty sinusu pro požadovaný úhel a použít je v dalších výpočtech.
Pro použití sinusové tabulky je třeba určit požadovaný úhel ve stupních. Poté je hodnota sinusu pro tento úhel v tabulce sinusů. V případě, že je nutné najít hodnotu sinusu pro úhel, který není uveden v tabulce, lze pomocí interpolace přibližně určit hodnotu sinusu pro střední rohy.
Pokud například potřebujeme najít sinus úhlu 45 stupňů, obrátíme se na tabulku sinusů a najdeme odpovídající hodnotu, která je 0.7071. Pokud je nutné vypočítat sinus úhlu 30 stupňů, který nemusí být v tabulce, můžeme vzít hodnotu sinusu pro úhel 30 stupňů na 0.5, a přiblížit se k výsledku interpolací k určení hodnoty sin 30°. Můžeme například interpolovat mezi sinusy pro 30° a 40°, abychom získali přesnější výsledek.
Tabulka sinusů je užitečným nástrojem pro rychlé nalezení hodnot sinusu úhlů. Zabraňuje nutnosti ručně vypočítat hodnoty sinusu a šetří čas při provádění různých trigonometrických výpočtů.
Výpočet komplexního sinusu
sin(z) = z - (1/3!) * z 3 + (1/5!) * z 5 - (1/7!) * z 7 + .
Zde z - komplexní číslo. Pro výpočet sinusu komplexního čísla je nutné nahradit proměnnou z v Taylorově řadě na toto číslo a sečtěte všechny získané slagy. Čím více sloganů se počítá, tím přesnější bude výsledek.
Příklad výpočtu komplexního sinusu:
Zvažte komplexní číslo z = 2 - 3i. Vypočítáme jeho sinus pomocí Taylorovy řady, vzhledem k prvním 4 slagům.
sin(z) ≈ (2 - 3i) - (1/3!) * (2 - 3i) 3 + (1/5!) * (2 - 3i) 5 - (1/7!) * (2 - 3i) 7
sin(z) ≈ (2 - 3i) - (1/6) * (2 - 3i) 3 + (1/120) * (2 - 3i) 5 - (1/5040) * (2 - 3i) 7
sin(z) ≈ (2 - 3i) - (1/6) * (8 - 12i - 9i 2 ) + (1/120) * (32 - 48i - 80i 2 + 90i 3 ) - (1/5040) * (128 - 192i - 560i 2 + 5040i 3 )
sin(z) ≈ 2 - 3i - 4/3 + 2i - 16/15 + 8i/5 + 32/315 - 64i/105
sin(z) ≈ 1.3657 - 0.4349i
Komplexní sinus čísla z = 2 - 3i rovná se přibližně 1.3657 - 0.4349i.