Vypočítat objem kbelíku zkráceného kužele se může zdát jako obtížný úkol, ale ve skutečnosti je to velmi jednoduché. Pro začátek je třeba znát hodnoty poloměrů bází a délky tvořící. V našem případě máme základny s poloměry 15 a 10 centimetrů a tvořící délku 30 centimetrů.
Abychom našli objem zkráceného kužele, budeme potřebovat vzorec, který spojuje poloměr základny, poloměr horní základny a tvoří. Tento vzorec také bere v úvahu matematickou konstantu π (pí). Vzorec pro nalezení objemu zkráceného kužele má tedy: V = π * h * (R^2 + R*r + r^2) / 3, kde v je objem kužele, π - 3,14 (přibližná hodnota), h - výška kužele (tvořící), R - poloměr větší základny, R - poloměr menší základny.
Použijeme-li tento vzorec na náš případ, dostaneme: V = 3,14 * 30 * (15^2 + 15*10 + 10^2) / 3. Provedením výpočtů v závorkách podle priority akcí-nejprve povýšení na stupeň, poté násobení a sčítání, najdeme požadovaný objem kbelíku zkráceného kužele.
Co je zkrácený kužel?
Zkrácený kužel se od úplného kužele liší tím, že jeho základny se neshodují, ale jsou uspořádány v různých úrovních. Takové kužely se často používají v různých inženýrských a architektonických úkolech.
Pro výpočet objemu zkráceného kužele je nutné znát poloměry obou bází a výšku nebo tvarování. Vzorec pro výpočet objemu takového kužele bude vypadat následovně:
| Vzorec pro výpočet objemu zkráceného kužele |
|---|
| V = (1/3) * π * (R^2 + r^2 + R * r) * h |
- V-Objem zkráceného kužele;
- π-číslo pí, přibližně 3.14159;
- R-poloměr větší základny;
- R-poloměr menší základny;
- h-výška nebo tvořící zkrácený kužel.
Nyní, když znáte základní pojmy a vzorec pro zadaný zkrácený kužel, můžete snadno vypočítat jeho objem.
Zkrácený kužel je geometrické těleso, které je tvořeno sekční rovinou rovnoběžnou se základnou, což jsou ploché kruhy různého poloměru. Výsledkem průřezu je zkrácený kužel se dvěma základnami a bočním povrchem, který lze považovat za povrch tvořený dynamickým "řezem" na jedné straně. Zkrácený kužel lze od ostatních geometrických tvarů odlišit tvarem, a to přítomností dvou plochých horních a dolních bází a bočního povrchu, který má tvar lichoběžníku nebo klínu. Objem zkráceného kužele lze vypočítat pomocí příslušného vzorce, který bere v úvahu poloměry bází, které tvoří a výšku.
Vzorec pro výpočet objemu zkráceného kužele
Objem zkráceného kužele lze vypočítat pomocí vzorce:
- Najděte výšku zkráceného kužele pomocí Pythagorovy věty: h = √(r₁2 - r₂2 + l2), kde h je výška zkráceného kužele, r₁ je poloměr větší základny, r₂ je poloměr menší základny, l tvoří zkrácený kužel.
- Vypočítejte plochu středního průřezu kužele pomocí vzorce: a = π (r₁2 + r₂2 + r₁r₂), kde a je plocha středního průřezu kužele.
- Najděte objem zkráceného kužele pomocí vzorce: V = (1/3) a * H, kde V je objem zkráceného kužele.
Pomocí uvedených vzorců a dat poloměrů bází a tvořícího zkráceného kužele lze snadno vypočítat jeho objem.
Objem zkráceného kužele se vypočítá podle vzorce
Objem zkráceného kužele lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
- V-Objem zkráceného kužele
- π-matematická konstanta, přibližně 3.14159
- R1 - poloměr větší základny kbelíku
- R2 - poloměr menší základny kbelíku
- h - výška zkráceného kužele
Pro dané hodnoty poloměrů bází (R1 = 15 cm a R2 = 10 cm) a tvořící (h = 30 cm), vložíme tyto hodnoty do vzorce pro výpočet objemu:
V = (1/3) * π * (15 2 + 10 2 + 15 * 10) * 30
Při výpočtech získáme:
V = (1/3) * π * (225 + 100 + 150) * 30
V = (1/3) * π * 475 * 30
V = (1/3) * π * 14250
Objem kbelíku zkráceného kužele s poloměry bází 15 a 10 cm a tvořícím 30 cm je tedy přibližně 15050.92 cm3.
Jak najdu tvarovaný zkrácený kužel?
K nalezení tvarovaného zkráceného kužele budete potřebovat jeho poloměry bází a výšku.
Pro začátek najdeme rozdíl poloměrů bází: 15 - 10 = 5.
Poté podle Pythagorovy věty najdeme délku tvořící pomocí nalezeného rozdílu poloměrů a výšky:
| Katet 1 | Katetr 2 | Přepona |
|---|---|---|
| Výška | Rozdíl poloměrů | Tvořící |
| h | a - b | l |
Pomocí Pythagorovy věty získáme následující rovnici:
l 2 = h 2 + (a - b) 2
Tím, že nastavíme známé hodnoty, získáme:
l 2 = 30 2 + 5 2 = 900 + 25 = 925
Extrakcí odmocniny z obou stran rovnice získáme:
l = √925 ≈ 30.41
Tvar zkráceného kužele je tedy přibližně 30.41 cm.
Tvarovaný zkrácený kužel je definován jako.
K určení objemu kbelíku zkráceného kužele s poloměry bází 15 a 10 centimetrů a tvořícími 30 centimetrů lze použít vzorec:
| Parametr | Formule |
|---|---|
| Poloměr základny horního kužele | 15 cm |
| Poloměr základny spodního kužele | 10 cm |
| Tvořící | 30 cm |
| Objem zkráceného kužele | V = 1/3 π (r1 2 + r2 2 + r1r2) h |
| Objem kbelíku | V = 1/3 π (15 2 + 10 2 + 15*10) * 30 |
| Objem kbelíku | V = 1/3 π (225 + 100 + 150) * 30 |
| Objem kbelíku | V = 1/3 π (475) * 30 |
| Objem kbelíku | V - 4918.608 cm3 |
Objem kbelíku zkráceného kužele s poloměry bází 15 a 10 centimetrů a tvořícím 30 centimetrů je tedy přibližně 4918.608 centimetrů krychlových.
Jak najdu základny zkráceného kužele?
Nejprve se zaměříme na terminologii.:
- Poloměr horní základny je vzdálenost od středu horního kružnice k jakémukoli bodu na ní. Označeno jako r1.
- Poloměr spodní základny je vzdálenost od středu dolního kružnice k jakémukoli bodu na ní. Označeno jako r2.
- Tvořící je přímka spojující horní a spodní bod kužele. Označeno jako l.
Když známe tyto parametry, můžeme použít Pythagorovu větu k nalezení poloměrů bází:
Vrátíme - li se ke konkrétnímu příkladu se zkráceným kuželem, který má poloměry bází 15 a 10 a tvořící 30 cm, můžeme tyto hodnoty nastrčit do vzorců a získat:
r1 = √(30 2 - (10 - 15) 2 ) = √(900 - 25) = √875 ≈ 29.58 viz
r2 = (√(30 2 - (10 - 15) 2 ) + 15) / 2 = (√875 + 15) / 2 ≈ 22.79 viz
Poloměr horní základny zkráceného kužele je tedy přibližně 29.58 cm a poloměr spodní základny je přibližně 22.79 cm.
Základy zkráceného kužele lze nalézt pomocí podobizny
Pro nalezení objemu kbelíku zkráceného kužele s poloměry bází 15 a 10 a tvořícími 30 cm je nutné určit základny zkráceného kužele.
K tomu lze použít pojem podobnosti trojúhelníků. Vzhledem k tomu, že máme dva trojúhelníky s podobnými stranami, lze základny zkráceného kužele nalézt proporcí.
Na základě podobnosti trojúhelníků můžeme zaznamenat následující proporce:
15/10 = (R1-R2)/30
kde R1 a R2 jsou poloměry bází zkráceného kužele.
Dále, při řešení tohoto poměru vzhledem k neznámé hodnotě R1-R2, budeme schopni najít základny zkráceného kužele.
Jakmile najdeme základny, můžeme použít vzorec pro objem zkráceného kužele:
V = (π/3) * h * (R1^2 + R2^2 + R1*R2)
kde V je objem zkráceného kužele, π je číslo pí, které tvoří h.
Umístěním hodnot do vzorce budeme schopni vypočítat objem kbelíku zkráceného kužele.
Určení poloměru zkráceného kužele
Pokud jsou uvedeny poloměry dvou bází a tvoří, pak lze poloměr zkráceného kužele vypočítat pomocí podobnosti trojúhelníků. Chcete-li to provést, musíte rozdělit délku, která tvoří polovinu, a poté úměrně zvýšit nebo snížit poloměry bází.
Vzorec pro určení poloměru zkráceného kužele:
Pokud je například poloměr první základny 15 cm, poloměr druhé základny je 10 cm a výsledná je 30 cm, pak lze vzorec použít k nalezení poloměru zkráceného kužele:
15 / poloměr2 = 30 / 10
Pomocí jednoduchých matematických výpočtů lze najít hodnotu poloměru2:
15 / poloměr2 = 3
15 = 3 * poloměr2
poloměr2 = 15 / 3
poloměr2 = 5 cm
Poloměr druhé základny zkráceného kužele je tedy 5 cm.
Poloměr zkráceného kužele je určen.
Poloměr zkráceného kužele je definován jako vzdálenost od vrcholu kužele k obvodu, který tvoří jeho základnu. V tomto případě má kbelík zkráceného kužele dvě základny s poloměry 15 a 10 cm a tvoří 30 cm.Všimněte si, že poloměry bází kužele mohou být různé, takže je zkrácený.
Jak vypočítáte objem kbelíku?
Pro výpočet objemu zkráceného kužele je nutné znát poloměry bází (r1 a r2) a tvořící (h), což je vzdálenost od vrcholu k bodu na základně.
Vzorec pro výpočet objemu zkráceného kužele:
V = 1/3 * π * h * (r1^2 + r2^2 + (r1 * r2))
- V - objem zkráceného kužele
- π - číslo pí, jehož přibližná hodnota je 3,14159
- h - tvořící zkrácený kužel
- r1 a r2 - poloměry bází zkráceného kužele
Vypočítejme objem kbelíku na příkladu. Nechť je poloměr větší základny 15 cm, poloměr menší základny je 10 cm a výsledný je 30 cm. použijeme vzorec a najdeme objem:
V = 1/3 * 3.14159 * 30 * (15^2 + 10^2 + (15 * 10))
Výsledný výsledek umožňuje určit objem kbelíku, který lze použít například k měření kapaliny nebo zásypu určitého objemu materiálu.