Kroužek - je to algebraická struktura, která definuje dvě binární operace-sčítání a násobení. Prsten se skládá z mnoha prvků, na kterých jsou tyto operace zadány, a má určité vlastnosti. Sčítání v kruhu má vlastnosti asociativity, komutativnosti a přítomnosti neutrálního prvku - nuly. Násobení v prstenci má také asociativitu a komutativnost, ale může být bez nuly. Důležitým rysem prstence je přítomnost zpětného prvku pro sčítání a možnost distribučního zákona.
Pole - je to speciální prsten, ve kterém je každý nenulový prvek reverzibilní násobením. To znamená, že každý jiný prvek než nula má inverzní prvek, který je výsledkem rozdělení jednotky na daný prvek. Pole má také vlastnosti asociativity, komutativnosti a přítomnosti neutrálního prvku, pokud jde o sčítání. V poli působí všechny dříve uvažované vlastnosti prstence, stejně jako reverzibilita každého nenulového prvku.
Prstence a pole jsou hlavními strukturami v algebře a nacházejí uplatnění v různých oblastech matematiky, fyziky, informatiky a dalších věd. Studium těchto struktur umožňuje řešit různé problémy související s algebrou a analýzou. Kroužek a pole jsou základní pojmy, na kterých se staví složitější a abstraktnější matematické konstrukce.
Definice prstence v algebře
Aby byla množina R s operacemi " + " a " * " prstencem, musí splňovat následující podmínky:
- Zákon sčítání: U všech prvků a A b je součet a + b také ve vlastnictví kruhu R.
- Asociativita sčítání: Pro všechny prvky a, b A c z kruhu R se součet (a + b) + c rovná součtu a + (b + c).
- Existence nulového prvku: V r kruhu je nulový prvek 0, takže pro jakýkoli prvek A Z R se provádí a + 0 = a.
- Existence opačného prvku: Pro jakýkoli prvek a Z R existuje prvek - A Z R, jako je a + (- a) = 0.
- Zákon násobení: Pro všechny prvky a A b je součin a * b také součástí R.
- Distribuce násobení vzhledem k sčítání: Pro všechny prvky a, b A c z prstence R se součin a · (b + c) rovná součtu součinů a · b a A · c.
Kroužek může být jak komutativní, to znamená, že splňuje zákon komutativnosti násobení (a · b = b · a), tak nekomutativní. Kromě toho může mít prstenec jednotku, tj. prvek 1, který je 1 · a = a · 1 = a pro jakýkoli prvek a z prstence.
Definice pole v algebře
Pole v algebře se nazývá mnoho prvků, pro které jsou definovány operace sčítání a násobení, které splňují určité axiomy.
Nechť P je množina, na které jsou definovány dvě operace: sčítání (+) a násobení (·).
Množina P s operací sčítání ( + ) se nazývá abelová skupina, pokud jsou prováděny následující axiomy:
| 1) | Komutativnost: a + b = b + a pro všechny a, B ∈ P. |
| 2) | Asociativita: (a + b) + c = a + (b + c) pro všechny a, b, C ∈ P. |
| 3) | Existence neutrálního prvku: existuje takový prvek 0 ∈ P, že a + 0 = a pro všechny a ∈ P. |
| 4) | Existence inverzního prvku: pro každý prvek a ∈ P existuje prvek-a ∈ P takový, že A + (-a) = 0. |
Množina P s operací násobení ( · ) se nazývá multiplikativní skupina, pokud jsou prováděny následující axiomy:
| 1) | Komutativnost: a * b = b * a pro všechny a, B ∈ P. |
| 2) | Asociativita: (a * b) * c = a * (b · c) pro všechny a, b, C ∈ P. |
| 3) | Existence neutrálního prvku: existuje takový prvek 1 ∈ P, že a · 1 = a pro všechny a ∈ P. |
| 4) | Existence inverzního prvku: pro každý prvek a ∈ P (a ≠ 0) existuje prvek A -1 ∈ P takový, že A · a -1 = 1. |
Množina P je pole, pokud je současně abelovou skupinou pro sčítání a multiplikativní skupinou pro násobení, a také se provádí distribuční zákon: a · (b + c) = (a · b) + (A · C) pro všechny a, b, C ∈ P.
Hlavní charakteristiky pole
- Uzavřenost: V poli lze libovolné dvě položky sčítat, odčítat, násobit a dělit bez omezení. Výsledek těchto operací je také prvkem pole.
- Komutativnost sčítání a násobení: V poli existuje vlastnost komutativity pro operace sčítání a násobení. Při sčítání prvků nezáleží na pořadí jejich umístění, to znamená A + b = b + a. podobně násobení prvků v poli je komutativní.
- Existence neutrálních prvků: V poli existují neutrální prvky pro sčítání (0) a násobení (1). Neutrální prvek pro sčítání je nulový prvek, to znamená A + 0 = a. neutrální prvek pro násobení je jednotkový prvek, to znamená A * 1 = a.
- Existence inverzních prvků: V poli každého prvku lze najít inverzní prvek týkající se operace sčítání a násobení. Například pro jakýkoli prvek a existuje prvek-a, jako je a + (- a) = 0. Podobně pro každý nenulový prvek a existuje prvek A^-1, takže a * A^-1 = 1.
- Distribuce: Operace násobení v poli je distribuována vzhledem k operaci sčítání. To znamená, že pro všechny prvky a, b A c se provádí vlastnost a * (b + c) = (a * b) + (A * c).
Tyto hlavní charakteristiky pole jsou klíčové pro jeho definování a použití v různých matematických a algebraických teoriích.