Arkussinus - je to zpětná funkce k sinusu, která nám umožňuje najít úhel, jehož hodnota sinusu se rovná dané velikosti. Ale co když musíme najít derivát arxinu? V tomto článku rozebereme, jak odvodit derivát arxinu a uvedeme několik příkladů řešení.
Derivát arxinu může být užitečný v mnoha matematických úlohách a aplikacích. Může být například použit k nalezení rychlosti změny úhlu, k řešení problémů diferenciálního počtu nebo k analýze grafů funkcí. Proto je důležité vědět, jak odvodit derivát arxinu a jak jej použít v praktických úkolech.
Zvažte funkci f(x) = arcsin(x), kde x - proměnná. Abychom odvodili vzorec pro derivaci této funkce, musíme použít řetězové pravidlo:
f'(x) = (d/dx)arcsin(x) = (d/dx)arcsin(u) * (du/dx), kde u = x a du/dx = 1.
Nyní vypočítáme odvozenou funkci sinusu u = sin(u) podle proměnné x. Řešení rovnice týkající se du/dx, získat:
du/dx = 1/√(1 - u^2).
Tím, že tuto hodnotu vložíme zpět do vzorce řetězového pravidla, získáme:
f'(x) = (d/dx)arcsin(u) * (du/dx) = 1/√(1 - u^2) = 1/√(1 - x^2).
Vzorec derivace arxinu je tedy roven f'(x) = 1/√(1 - x^2).
Příklady řešení problémů pomocí tohoto vzorce najdete v následující části.
Derivát arxinu: základní pojmy
Arxinus je zpětná funkce k sinusu a je označen jako arcsin(x) . Umožňuje určit úhel, jehož hodnota sinusu se rovná danému číslu. Funkce arxinus může mít hodnoty od-π / 2 do π / 2, což odpovídá rozsahu sinusových hodnot od -1 do 1.
Derivace funkce ukazuje, jak rychle se funkce mění v daném bodě. Pro arxinus je derivace definována jako inverzní veličina odmocniny z rozdílu jednotky a kvadratury argumentu funkce, tj.:
(arcsin(x))' = 1 / √(1 - x^2)
Tento výraz umožňuje najít rychlost změny funkce arxinu v konkrétním bodě. Když znáte hodnotu argumentu x, můžete vypočítat hodnotu derivátu arxinu.
Derivát arxinu: metoda řešení
Použijeme vzorec derivace složité funkce:
(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Nejprve definujeme funkci vnější vůči arxinu. V tomto případě je to arxinus, označíme jej g (x):
g(x) = arcsin(x)
Pak najdeme derivát této funkce pomocí řetězového pravidla diferenciace. Derivát arxinu se rovná:
g'(x) = 1 / √(1 - x²)
Nyní je naším úkolem najít derivát vnitřní funkce f (x) v bodě x:
f'(x)
Převedeme naši původní funkci na následující pohled:
f(x) = g'(f(x))
Poté tuto funkci posuneme proměnnou x pomocí řetězového pravidla:
f'(x) = g''(f(x)) * f'(x)
Najdeme druhou derivaci arxinu pomocí řetězového pravidla:
g''(x) = d(g'(x)) / dx = -x / (√(1 - x²)³)
Nyní zbývá pouze vložit získané hodnoty do vzorce:
f'(x) = g''(f(x)) * f'(x)
Tímto způsobem můžeme najít derivát arxinu pomocí metody diferenciace složitých funkcí a řetězového pravidla.
Derivát arxinu: příklady řešení
Zvažte několik příkladů nalezení derivace arxinu.
-
Najdeme odvozenou funkci y = arcsin (x). Použijeme vzorec odvozené složité funkce, kde f (x) = arcsin (x):
f'(x) = (1 / √(1 - x²)) * f'(arcsin(x))f'(x) = (1 / √(1 - x²)) * (1 / √(1 - x²))f'(x) = 1 / (1 - x²)f'(x) = (1 / √(1 - (2x)²)) * f'(arcsin(2x))Najdeme derivát f ' (arcsin (2x). Za tímto účelem změníme proměnnou v původní funkci: t = 2x. dostaneme:
f'(t) = (1 / √(1 - t²))f'(x) = (1 / √(1 - (2x)²)) * (1 / √(1 - (2x)²))f'(x) = 1 / (2√(1 - (2x)²))f'(x) = (1 / √(1 - (2x - 1)²)) * f'(arcsin(2x - 1))f'(t) = (1 / √(1 - t²))f'(x) = (1 / √(1 - (2x - 1)²)) * (1 / √(1 - (2x - 1)²))f'(x) = 1 / (2√(1 - (2x - 1)²))f'(x) = 3 / (2√(1 - (2x - 1)²))Derivát arxinu: výpočetní vzorec
Tento vzorec umožňuje najít derivát arxinu z jakéhokoli argumentu. Pro výpočet derivace stačí vzít tento vzorec a nastražit požadovanou hodnotu argumentu \( x \).
Chcete-li například najít derivát arxinu z \ (x = \frac \), jednoduše vložte \ (x = \frac \) do vzorce:
Výpočet výrazu ve jmenovateli:
Derivát arxinu z \ (x = \frac \) je tedy \ (\frac> \).
Výpočet derivátu arxinu: podrobný návod
Derivát arxinu označený jako d/dx arcsin(x), je derivátem zpětné funkce sinusu. K odvození této derivace lze použít metodu diferenciace složité funkce.
Krok 1: Zapíšeme původní funkci ve formě y = arcsin(x).
Krok 2: Sinus aplikujeme na celou rovnici, abychom odstranili reverzní funkci: sin(y) = x.
Krok 3: Vezměte derivát z obou částí rovnice po x. Všimněte si, že derivát sinusu je roven kosinu: cos(y) * dy/dx = 1.
Krok 4: Vyřešíme rovnici týkající se derivace dy/dx: dy/dx = 1 / cos(y).
Krok 5: Používáme trigonometrickou identitu: sin^2(y) + cos^2(y) = 1. Vyměníme význam sin^2(y) z této identity na 1 - cos^2(y).
Krok 6: Nastražíme náhradu z kroku 5 do rovnice derivace: dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2).
Takže jsme dostali výraz pro derivát arxinu: d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2).
Nechte nás najít odvozenou funkci y = arcsin(2x).
Nejprve proveďte všechny kroky pro obecný případ: d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2).
Poté nastražíme hodnotu 2x: d/dx arcsin(2x) = 1 / sqrt(1 - (2x)^2).
Zjednodušíme výraz: d/dx arcsin(2x) = 1 / sqrt(1 - 4x^2).
Odvozená funkce y = arcsin(2x) rovná 1 / sqrt(1 - 4x^2).
Pomocí tohoto podrobného pokynu a nahrazením proměnných lze vypočítat derivát arxinu pro jakýkoli výraz.