Kolik čtyřmístných čísel dělitelných 4 lze vytvořit z číslic 12345?

Čtyřmístná čísla jsou to čísla, která mají čtyři číslice. Otázka, kolik takových čísel lze sestavit z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 a přitom je rozdělit na 4, má svou zajímavou vlastnost.

Číslo dělitelné 4, má následující vlastnosti. Aby se číslo dělilo 4, musí být násobkem 4. Z této sady číslic je pouze číslo 4 násobkem 4. Proto jednotky, desítky a stovky v čísle mohou být libovolné z číslic 1, 2, 3, 5, protože 4 nemůže být na těchto pozicích.

Takovým způsobem, pro určení počtu čtyřmístných čísel dělitelné 4 a složené z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 můžeme měnit pouze první číslici - tisíce. Zbytek čísel si můžete vybrat libovolným způsobem ze zbývajících čísel.

Varianty čtyřmístných čísel z číslic 12345 dělitelných 4

Z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 lze vytvořit čtyřmístná čísla dělená 4. K tomu je třeba vzít v úvahu následující pravidla:

1. Čtyřmístné číslo by mělo začínat povolenou číslicí (1, 2, 3, 4 nebo 5).
2. Čtyřmístné číslo by mělo být násobkem 4, což znamená, že jeho poslední dvě číslice by měly tvořit násobek 4.

Zvažte každou číslici a možné možnosti pro zbývající pozice čísla:

• Pokud je jako první číslice vybrána číslice 1, pak by druhá číslice měla být 2, 3 nebo 4 a pro poslední dvě číslice jsou možné varianty: 12, 24, 32, 34.
• Pokud je jako první číslice vybrána číslice 2, pak by druhá číslice měla být 1, 3 nebo 5 a pro poslední dvě číslice jsou možné varianty: 12, 24, 32, 34, 52.
• Pokud je jako první číslice vybrána číslice 3, pak by druhá číslice měla být 2 nebo 4 a pro poslední dvě číslice jsou možné varianty: 12, 24, 32, 34.
• Pokud je jako první číslice vybrána číslice 4, pak by druhá číslice měla být 1, 2, 3 nebo 5 a pro poslední dvě číslice jsou možné varianty: 12, 24, 32, 34, 52.
• Pokud je jako první číslice vybrána číslice 5, pak by druhá číslice měla být 2 a pro poslední dvě číslice jsou možné varianty: 12, 24, 32, 34.

Celkový počet čtyřmístných čísel, která lze sestavit z číslic 12345 a dělitelných 4, se tedy rovná 20.

První číslice je 1, 2 nebo 3

Abychom našli počet čtyřmístných čísel, která se dělí na 4 a mají první číslici 1, 2 nebo 3, musíme zvážit všechny možné možnosti pro zbývající tři číslice.

Pro první číslici 1:

• Pokud je druhá číslice 1, 2, 3 nebo 4, pak zůstává 5 možných hodnot pro třetí číslici a 5 pro čtvrtou číslici.
• Pokud je druhá číslice 5, pak hodnota třetí číslice může být pouze 2 nebo 6 a pro čtvrtou číslici zůstávají dvě možné hodnoty.
• Takže pro první číslici 1 Existuje 5 * 5 + 2 = 27 možných kombinací.

Pro první číslici 2:

• Pokud je druhá číslice 1, 2, 3 nebo 4, pak zůstává 5 možných hodnot pro třetí číslici a 5 pro čtvrtou číslici.
• Pokud je druhá číslice 5, pak hodnota třetí číslice může být pouze 2 nebo 6 a pro čtvrtou číslici zůstávají dvě možné hodnoty.
• Takže pro první číslici 2 Existuje 5 * 5 + 2 = 27 možných kombinací.

Pro první číslici 3:

• Pokud je druhá číslice 1, 2, 3 nebo 4, pak zůstává 5 možných hodnot pro třetí číslici a 5 pro čtvrtou číslici.
• Pokud je druhá číslice 5, pak hodnota třetí číslice může být pouze 2 nebo 6 a pro čtvrtou číslici zůstávají dvě možné hodnoty.
• Takže pro první číslici 3 Existuje 5 * 5 + 2 = 27 možných kombinací.

Výsledkem je, že celkový počet čtyřmístných čísel, která se dělí na 4 a mají první číslici 1, 2 nebo 3, je 27 + 27 + 27 = 81.

První číslo je 4

Z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 lze vytvořit čtyřmístná čísla s různými kombinacemi. Pokud by však první číslice měla být 4, pak se počet možných variant snižuje.

Aby bylo možné vytvořit čtyřmístné číslo, musí být první číslice 4 a zbývající číslice mohou být libovolné ze zbývajících čtyř. Máme tedy 1 možnost pro první číslici a 4 možnosti pro zbývající tři číslice.

Tímto způsobem lze celkem vytvořit 4 různá čtyřmístná čísla, která se dělí na 4 z číslic 1, 2, 3, 4 a 5, za předpokladu, že první číslice je 4.

První číslo je 5

Z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 lze vytvořit čtyřmístná čísla, která se dělí na 4 a začínají číslicí 5.

Protože číslo musí být děleno 4, poslední dvě číslice čísla musí tvořit číslo, které je dělitelné 4. To znamená, že možné kombinace pro poslední dvě číslice jsou 12, 24, 32 a 52.

Z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 lze tedy vytvořit následující jedinečná čtyřmístná čísla, která se dělí na 4 a začínají číslicí 5: 5124, 5142, 5214 a 5241.

Druhá číslice je 1, 2 nebo 3

Chcete-li najít počet čtyřmístných čísel dělených 4 a složených z číslic 1, 2, 3, 4 a 5, musíte zvážit všechny možné případy pro druhou číslici.

• Pokud je druhá číslice 1, pak třetí číslice může být kterákoli ze zbývajících číslic 1, 3, 4 nebo 5. Zbývající dvě čísla mohou být libovolná. Počet čísel se tedy v tomto případě rovná 4 * 5 * 5 = 100.
• Pokud je druhá číslice 2, pak třetí číslice může být také některá ze zbývajících číslic 1, 3, 4 nebo 5. Zbývající dvě čísla mohou být libovolná. Počet čísel se v tomto případě také rovná 4 * 5 * 5 = 100.
• Pokud je druhá číslice 3, pak třetí číslice může být kterákoli ze zbývajících číslic 1, 2, 4 nebo 5. Zbývající dvě čísla mohou být libovolná. Počet čísel se tedy v tomto případě rovná 4 * 4 * 5 = 80.

Takže celkový počet čísel, která splňují podmínku, se rovná 100 + 100 + 80 = 280.

Druhá číslice je 4

1. První číslice může být kterákoli z čísel 1, 2, 3, 4 nebo 5.
2. Druhá číslice je vždy 4.
3. Třetí číslice může být kterákoli z čísel 1, 2, 3, 4 nebo 5.
4. Čtvrtá číslice musí být sudá (2 nebo 4), aby číslo bylo násobkem 4.

Pro každou z pozic je tedy k dispozici 5 možností výběru čísla (1, 2, 3, 4 nebo 5). Vzhledem k tomu, že každou pozici lze vybrat nezávisle na ostatních, celkový počet čtyřmístných čísel, která lze sestavit, se rovná součinu počtu možností pro každou pozici: 5 * 1 * 5 * 2 = 50.

Tímto způsobem lze vytvořit 50 čtyřmístných čísel, jejichž druhá číslice je 4 a která jsou dělitelná 4 pomocí číslic 1, 2, 3, 4 a 5.

Druhá číslice je 5

Druhá číslice by měla být 5. Zbývající tři číslice mohou být libovolné ze zbývajících čtyř číslic: 1, 2, 3 a 4.

Varianty třířadých čísel, které lze sestavit s ohledem na tyto podmínky, představují všechny možné permutace zbývajících tří číslic: 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432.

Takže celkový počet čtyřmístných čísel dělených 4 a majících druhou číslici 5 se rovná počtu všech možných variant třířadých čísel, který je přiměřený počtu možností pro druhou číslici (pouze číslice 5): 6 * 1 = 6.

To znamená, že z číslic 12345 lze vytvořit 6 čtyřmístných čísel dělených 4 a majících druhou číslici 5.

Třetí číslice je 1, 2 nebo 3

Čtyřmístná čísla dělená 4 a složená z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 mohou mít různé kombinace třetí číslice. Zvažte případy, kdy třetí číslice může být 1, 2 nebo 3.

• Pokud je třetí číslice 1, pak první a druhá číslice mohou být libovolné z dostupných: 2, 3, 4 a 5. Existují tedy 4 možnosti pro první číslici a 4 možnosti pro druhou číslici. Celkem je možné vytvořit 4 * 4 = 16 čtyřmístných čísel.
• Pokud je třetí číslice 2, pak první a druhá číslice mohou být také libovolné z dostupných: 1, 3, 4 a 5. Existují tedy 4 možnosti pro první číslici a 4 možnosti pro druhou číslici. Celkem je možné vytvořit 4 * 4 = 16 čtyřmístných čísel.
• Pokud je třetí číslice 3, pak první a druhá číslice mohou být také libovolné z dostupných: 1, 2, 4 a 5. Existují tedy 4 možnosti pro první číslici a 4 možnosti pro druhou číslici. Celkem je možné vytvořit 4 * 4 = 16 čtyřmístných čísel.

Takže v případě, že třetí číslice je 1, 2 nebo 3, je celkem možné vytvořit 16 čtyřmístných čísel dělitelných 4 z číslic 1, 2, 3, 4 a 5.

Třetí číslice je 4

Aby bylo možné určit počet čtyřmístných čísel dělených 4 a složených z číslic 12345, je třeba vzít v úvahu řadu podmínek. V tomto případě si můžeme všimnout, že třetí číslice těchto čísel by měla být 4.

Pro výpočet počtu možných variant lze použít princip kombinatoriky. Na třetí pozici v počtu lze umístit pouze číslici 4. Zbývající tři pozice lze vyplnit čísly 1, 2, 3 nebo 5.

Na první pozici lze tedy vsadit 4 varianty, na druhou 4 varianty, na třetí 1 variantu, na čtvrtou 4 varianty, na pátou 4 varianty.

Celkový počet možných čtyřmístných čísel dělených 4 a složených z číslic 12345 se rovná součinu všech variant: 4 * 4 * 1 * 4 * 4 = 256.

Třetí číslice je 5

1. Číslo začíná na 5 a pokračuje libovolnou kombinací dvou zbývajících číslic (1, 2, 3, 4). Například číslo 5412 je dělitelné 4.

2. Číslo začíná 1, 2, 3 nebo 4, poté přichází číslice 5 a zbývající číslice může být jakákoli. Například číslo 2547 je také dělitelné 4.

Sečtením těchto dvou možností získáme celkový počet čtyřmístných čísel, která splňují dané podmínky.

Počet čtyřmístných čísel dělených 4 a majících třetí číslici 5 se tedy rovná 4 * 5 = 20.

Čtvrtá číslice je 1, 2 nebo 3

K určení počtu čtyřmístných čísel dělených 4 a složených z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 je třeba vzít v úvahu následující podmínky:

1. Čtvrtá číslice může být pouze 1, 2 nebo 3.
2. První číslice nemůže být 0, takže možnosti výběru jsou 4.
3. Druhá číslice může být kterákoli z pěti, takže možností výběru je 5.
4. Třetí číslice může být kterákoli z pěti, takže možností výběru je 5.
5. Pátá číslice nemůže být 0, takže možnosti výběru jsou 4.

Celkový počet čtyřmístných čísel dělených 4 a složených z číslic 1, 2, 3, 4 a 5, kde je čtvrtá číslice 1, 2 nebo 3, je 4 * 5 * 5 * 3 * 4 = 2400.