Čtyřmístná čísla hrají důležitou roli v matematice a analýze dat. Jedinečnost každé číslice v čísle mu dává určitou velikost a význam. Někdy je však potřeba hledat čísla nějakého konkrétního druhu, například čísla bez konkrétní číslice.
V tomto článku se budeme zabývat otázkou: kolik čtyřmístných čísel je bez čísla 3?
Zvažte všechny možné možnosti. V každé jednotce může být jakákoli číslice od 0 do 9 kromě 3. To znamená, že v první jednotce může být 9 libovolných číslic, ve druhé také 9 číslic, ve třetí 9 číslic a ve čtvrté opět 9 číslic. Celkový počet čtyřmístných čísel bez čísla 3 je tedy 9 * 9 * 9 * 9 = 6561.
Počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 v arabském číslování
Čtyřmístná čísla bez číslice 3 lze sestavit pomocí zbývajících 9 číslic: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 a 9.
Zvažte, kolik možností můžeme získat pro každý vybití čísla:
- Pro první vybití čísla máme 9 možných číslic (všechny kromě 3).
- Pro druhé číslo máme také 9 možných číslic.
- Pro třetí číslo máme také 9 možných číslic.
- Pro čtvrté číslo máme také 9 možných číslic.
Nyní, abyste našli celkový počet čtyřmístných čísel bez číslice 3, musíte vynásobit počet možností pro každý výboj: 9 * 9 * 9 * 9 = 6561.
Takže celkem existuje 6561 čtyřmístné číslo v arabském číslování bez číslice 3.
Závislost počtu čtyřmístných čísel bez číslice 3 na číselných systémech
Počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 závisí na číselném systému. Při použití desítkové soustavy, kde každé číslo může obsahovat číslice od 0 do 9, se počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 rovná 6561.
Při přechodu na jiný číselný systém se však počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 mění. Například v binárním číselném systému, kde každé číslo může obsahovat pouze číslice 0 a 1, je počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 15.
Pro každý číselný systém se základnou n lze určit počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 podle vzorce:
| Systém počítání | Počet čtyřmístných čísel bez čísla 3 |
|---|---|
| Desítková (n = 10) | 6561 |
| Binární (n = 2) | 15 |
| Trojka (n = 3) | 80 |
| Čtyřka (n = 4) | 405 |
| Pětka (n = 5) | 1296 |
Počet čtyřmístných čísel bez číslice 3 v různých číselných systémech se tedy může výrazně lišit. Je to proto, že v každém číselném systému je počet možných číslic omezen základnou systému.
Aritmetická progrese čísel bez čísla 3
Čtyřmístná čísla bez číslice 3 tvoří zajímavou aritmetickou progresi, ve které se každé další číslo získá přidáním jednotky k předchozímu.
Například první číslo v tomto pokroku bude 1000, druhé 1001, třetí 1002 a tak dále.
Taková čísla lze snadno spočítat pomocí elementárních znalostí aritmetiky. Protože první číslo je 1000, poslední číslo lze získat odečtením od 9999 počtu čísel obsahujících číslici 3. Pouze čtyřmístná čísla bez číslice 3 budou:
9000-počet čísel obsahujících číslici 3.
Abychom určili jejich počet, musíme vypočítat počet čísel obsahujících číslici 3. To lze provést pomocí principu kombinatoriky a jednoduchých matematických operací. V tomto případě bereme v úvahu, že číslice 3 může obsadit první, druhou, třetí nebo čtvrtou pozici každého z čísel.
Označte počet třímístných čísel bez číslice 3 jako k1. Je zřejmé, že k1 rovná se počtu všech třímístných čísel mínus počtu třímístných čísel obsahujících číslici 3. To je k1 = 900 - k1_3, kde k1_3 - počet třímístných čísel obsahujících číslici 3.
Stejně tak označíme počet dvouciferných čísel bez číslice 3 jako k2 počet jednociferných čísel bez čísla 3 jako k3. Tehdy:
kde k1_3, k2_3, k3_3 - počet dvouciferných, třímístných a čtyřmístných čísel obsahujících číslici 3.
Nyní musíme najít hodnoty k1_3, k2_3, k3_3. Je zřejmé, že:
Tyto hodnoty vložíme do rovnic.:
k1 = 900 - 9 = 891,
Počet čtyřmístných čísel bez čísla 3 se tedy rovná 891. Celkem těchto čísel 891.
Počet čtyřmístných čísel s číslem 3
Čtyřmístná čísla bez čísla 3 lze získat nahrazením čísla 3 jednou ze zbývajících 9 číslic (0-2, 4-9) na každé pozici čísla. Každá pozice tedy může mít 9 různých hodnot (s výjimkou 3).
Vzhledem k tomu, že první pozice nemůže být nula, konečný počet čtyřmístných čísel bez čísla 3 se rovná:
(9 možných hodnot pro první pozici)*(9 možných hodnot pro druhou pozici)*(9 možných hodnot pro třetí pozici)*(9 možných hodnot pro čtvrtou pozici) = 9^4 = 6561.
Celkem tedy existuje 6561 čtyřmístných čísel bez čísla 3.
Počet čtyřmístných čísel se dvěma číslicemi 3
Čtyřmístná čísla bez číslice 3 lze považovat za dva případy: čísla, ve kterých je pouze jedna číslice 3, a čísla, ve kterých jsou dvě číslice 3.
Případ 1: Čísla, ve kterých je pouze jedna číslice rovna 3.
Pro výběr prvního čísla máme 8 možností (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), protože nemůžeme použít číslo 3. Pro výběr druhé, třetí a čtvrté číslice máme 9 možností (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), protože můžeme použít libovolné číslo. Podle pravidla součinu se počet čtyřmístných čísel s jednou číslicí 3 rovná 8 * 9 * 9 * 9 = 5832.
Případ 2: Čísla, ve kterých se dvě číslice rovnají 3.
Pro výběr prvního čísla máme 9 možností (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), protože nemůžeme použít čísla 0 a 3. Pro výběr druhé číslice máme 3 možnosti (0, 1, 2), protože používáme číslici 3. Pro výběr třetí a čtvrté číslice máme 9 možností (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9), protože můžeme použít libovolné číslo. Podle pravidla díla se počet čtyřmístných čísel se dvěma číslicemi 3 rovná 9 * 3 * 9 * 9 = 2187.
Celkový počet čtyřmístných čísel bez čísla 3 se rovná součtu počtu čísel z každého případu. Takže celkem těchto čísel je: 5832 + 2187 = 8025.
| Případ | Počet čísel |
|---|---|
| Pouze jedna číslice 3 | 5832 |
| Dvě číslice 3 | 2187 |
| Úhrnem: | 8025 |
Počet čtyřmístných čísel, ve kterých je alespoň jedna číslice rovna 3
Abychom spočítali počet čtyřmístných čísel, ve kterých je alespoň jedna číslice 3, musíme vzít v úvahu několik důležitých bodů:
- První číslice čísla nemůže být 0, takže máme 9 možností, jak vybrat první číslici.
- Pro zbývající tři číslice můžeme vybrat libovolná čísla od 0 do 9 (včetně), s výjimkou čísla 3.
Celkový počet čtyřmístných čísel, ve kterých je alespoň jedna číslice rovna 3, se tedy rovná:
9 * 9 * 9 * 9 = 6561
To znamená, že existuje celkem 6561 čtyřmístných čísel, ve kterých je alespoň jedna číslice 3.