Rovnice jsou důležitým nástrojem v matematice a jsou široce používány v různých oblastech vědy a techniky. Jedním ze základních úkolů souvisejících s rovnicemi je stanovení počtu reálných kořenů, tedy čísel, která splňují rovnici.
Pro řešení tohoto problému zvažte rovnici 9x^2 + 12x + 4 = 0. Najdeme diskriminant rovnice podle vzorce D = B^2-4ac, kde a, b A C jsou koeficienty rovnice. V tomto případě a = 9, b = 12 A c = 4.
Nastavíme hodnoty koeficientů do vzorce a vypočítáme diskriminant: D = 12^2 - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0. Protože diskriminant je nulový, rovnice má jeden platný kořen.
Počet kořenů kvadratické rovnice
Pro určení počtu kořenů kvadratické rovnice je nutné vypočítat diskriminant podle vzorce D = b 2-4ac.
Pokud je D > 0, rovnice má dva různé platné kořeny.
Pokud je D = 0, pak má rovnice jeden platný kořen, což je dvakrát kořen rovnice.
Kvadratická rovnice 9x 2 + 12x + 4 = 0 má diskriminační D = 12 2 - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0.
Tato rovnice má tedy jeden platný kořen.
Rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0
K určení počtu reálných kořenů rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0 je nutné vyřešit danou kvadratickou rovnici.
K tomu lze použít diskriminant, který je definován podle vzorce D = b^2-4ac, kde a, b A C jsou koeficienty kvadratické rovnice.
V tomto případě a = 9, b = 12 A c = 4. Nastražte hodnoty do vzorce diskriminanta:
D = 12^2 - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0.
Jak je vidět, hodnota diskriminanta je nulová. To znamená, že rovnice má jeden platný kořen.
Rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0 má tedy jeden platný kořen, který lze nalézt vyřešením dané kvadratické rovnice.
Definice kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice získává své jméno, protože nejvyšším stupněm člen rovnice je kvadratický člen, tedy člen s x^2. Ostatní členové mohou být lineární (s jednou proměnnou - x) nebo volní (bez proměnné).
Kvadratické rovnice mohou mít nula, jeden nebo dva skutečné kořeny. Počet skutečných kořenů přitom závisí na diskriminantu kvadratické rovnice.
Diskriminant je výraz definovaný jako D = b^2-4ac.
Pokud je diskriminant pozitivní (d > 0), pak má rovnice dva různé platné kořeny.
Pokud je diskriminant nulový (D = 0), pak má rovnice jeden platný kořen, který je dvojnásobný.
V případě uvažované rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0 je její diskriminant D roven 12^2 - 4*9*4 = 144 - 144 = 0. Z toho vyplývá, že rovnice má jeden platný kořen, který je dvojnásobný.
| Typ kvadratické rovnice | Počet skutečných kořenů |
|---|---|
| D > 0 | Dva různé platné kořeny |
| D = 0 | Jeden platný kořen, dvojnásobný |
| D < 0 | Žádné skutečné kořeny |
Celkový tvar kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice je algebraická rovnice druhého stupně. Celkový tvar kvadratické rovnice má tvar:
| ax^2 + bx + c = 0 |
kde a, b a c - koeficienty, za předpokladu, že a ≠ 0.
Pro řešení kvadratické rovnice je třeba najít hodnoty x které splňují rovnici. Počet REÁLNÝCH kořenů rovnice závisí na diskriminantu vypočítaném podle vzorce:
| Δ = b^2 - 4ac |
Pokud je diskriminován Δ nad nulou pak rovnice má dva různé platné kořeny. Pokud je diskriminant nulový, pak má rovnice jediný platný kořen. Pokud je diskriminant menší než nula, Rovnice nemá skutečné kořeny.
Diskriminant kvadratické rovnice
V případě rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0, která má podobu ax^2 + bx + c = 0, koeficienty a, b A c jsou 9, 12 a 4. Vložením těchto hodnot do vzorce pro výpočet diskriminanta získáme D = 12^2 - 4*9*4 = 144 - 144 = 0.
Protože diskriminant je nulový, znamená to, že rovnice má jeden platný kořen. Rovnost diskriminanta s nulou naznačuje, že rovnice má jeden kořen, což je reálná a imaginární část rovnice rovna nule.
Kvadratická rovnice s pozitivním diskriminantem
D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4*9*4 = 144 - 144 = 0.
Protože hodnota diskriminanta je nulová, rovnice má jeden kořen. Je to věcné a shoduje se s vrcholem paraboly, který tvoří graf rovnice.
Obecně platí, že pokud je diskriminant pozitivní (D > 0), rovnice má dva různé platné kořeny. Pokud je diskriminant nulový (D = 0), rovnice má jeden platný kořen. Pokud je diskriminant negativní (d < 0), Rovnice nemá skutečné kořeny, ale má komplexní kořeny.
Kvadratická rovnice s negativním diskriminantem
Pokud je diskriminant větší než nula, pak rovnice má dva platné kořeny. Pokud je diskriminant nulový, pak rovnice má jeden platný kořen. A pokud je diskriminant menší než nula, Rovnice nemá skutečné kořeny.
Podívejme se na kvadratickou rovnici 9x^2 + 12x + 4 = 0. Vypočítáme diskriminanta podle vzorce D = 12^2 - 4*9*4 = 144 - 144 = 0. Protože diskriminant je nulový, rovnice má jeden platný kořen.
Kvadratická rovnice s nulovým diskriminantem
Počet skutečných kořenů kvadratické rovnice závisí na hodnotě diskriminanta:
- Pokud je diskriminant D > 0, pak rovnice má dva různé platné kořeny.
- Pokud je diskriminant D = 0, pak má rovnice jeden platný kořen (násobkový kořen 2).
V tomto případě má rovnice 9x^2 + 12x + 4 = 0 diskriminant D = (12)^2 - 4 * 9 * 4 = 0. Rovnice má tedy jeden platný kořen, a to x = -2 / 3.