Když se setkáme se systémy rovnic, prvním krokem je vždy pokusit se najít řešení pro každou rovnici jednotlivě a poté zkontrolovat jejich kompatibilitu. V tomto případě máme systém dvou rovnic: x^2 + Y^2 = 1 a Y = X. vezmeme je v úvahu postupně, počínaje rovnicí y = x.
Rovnice y = x udává přímku, která prochází začátkem souřadnic s úhlem sklonu 45 stupňů. Pokud se podíváme na grafické znázornění této rovnice, uvidíme, že protíná kružnici se středem na začátku souřadnic a poloměrem 1 ve dvou bodech: (1, 1) a (-1, -1).
Takže řešením systému rovnic x^2 + Y^2 = 1, u = x budou dva body: (1, 1) a (-1, -1). Splňují obě rovnice systému a jsou jediným řešením.
Rovnice x^2 + Y^2 = 1 a Y = X
Zvažte rovnici x^2 + Y^2 = 1 a také rovnice u = x.
Rovnice u = x je rovnicí přímky procházející začátkem souřadnic se sklonem 45 stupňů.
Rovnice x^2 + Y^2 = 1 je rovnicí kružnice poloměru 1 a středem na začátku souřadnic.
Je třeba vyřešit tento systém rovnic. Nastavíme rovnici přímky u = x do rovnice kružnice x^2 + Y^2 = 1:
Systém rovnic má tedy dvě řešení: (x = √(1/2), y = √(1/2)) a (x = -√(1/2), y = -√(1/2)).
Formulace úkolu
Je třeba vyřešit systém rovnic:
x 2 + y 2 = 1
y = x
Je třeba určit, kolik existuje řešení tohoto systému rovnic.
Analýza úkolu
Tento úkol spočívá v řešení soustavy rovnic složených ze dvou rovnic:
1. Rovnice kružnice: x^2 + y^2 = 1
2. Rovnice přímky: y = x
Je třeba určit, kolik řešení má daný systém a najít hodnoty souřadnic průsečíků kružnice a přímky.
Systém rovnic udává graf kružnice se středem na začátku souřadnic a poloměrem 1, stejně jako přímku procházející začátkem souřadnic a tvořící úhel 45 stupňů s kladným směrem osy OX.
- Obvod a přímka se protínají ve dvou bodech: (1, 1) A (-1, -1), protože přímka y = x protíná kružnici v kvadrantech I a III.
- Systém rovnic má tedy dvě řešení.
Řešení tohoto systému rovnic lze také získat vložením rovnice přímky do rovnice kružnice:
Souřadnice průsečíků kružnice a přímky jsou tedy stejné: (±√(1/2), ±√(1/2)).
Tabulka s řešeními tohoto systému rovnic:
| x | y |
|---|---|
| √(1/2) | √(1/2) |
| -√(1/2) | -√(1/2) |
Geometrické znázornění rovnice
Systém rovnic x^2 + y^2 = 1 a y = x popisuje mnoho bodů v rovině, které splňují obě rovnice současně. Pro pochopení geometrické reprezentace tohoto systému rovnic lze zvážit grafy funkcí.
První rovnice, x^2 + y^2 = 1, je rovnice kružnice se středem na začátku souřadnic a poloměrem 1. To znamená, že všechny body na tomto kružnici jsou 1 od začátku souřadnic.
Druhá rovnice, y = x, je rovnice přímky, která prochází začátkem souřadnic a tvoří úhel 45 stupňů s kladným směrem osy x.
Zobrazením grafů funkcí v rovině vidíme, že tyto grafy mají dva společné průsečíky: (0,0) a (1,1). Systém rovnic má tedy přesně dvě řešení.
Podmínky řešení
Chcete-li vyřešit systém rovnic x^2 + Y^2 = 1 a Y = X, musíte v první rovnici nastavit hodnotu y místo X:
| Rovnice | Nahrazení | Výsledek |
|---|---|---|
| x^2 + Y^2 = 1 | x^2 + (x)^2 = 1 | 2x^2 = 1 |
Výsledná rovnice 2x^2 = 1 má jediné řešení:
Systém rovnic má tedy jediné řešení (x, u) = (√(1/2), √(1/2)) nebo (X, u) = (-√(1/2), -√(1/2)).
Studium grafu rovnice
Pro studium grafu rovnice x^2 + Y^2 = 1, Y = X, je třeba zvážit příslušné souřadnicové osy a body, které splňují tyto rovnice. Protože druhá rovnice je přímka procházející začátkem souřadnic (0, 0) a tvořící úhel 45 stupňů s kladným směrem osy Oh, odpovídá úhlopříčce jednotkového čtverce.
Graf první rovnice x^2 + Y^2 = 1 je obvod poloměru 1 se středem na začátku souřadnic. Tento kružnice obsahuje body ve vzdálenosti 1 od začátku souřadnic a skládá se ze všech možných (x, y), které splňují danou rovnici.
Protože druhá rovnice y = x také prochází začátkem souřadnic a odpovídá úhlopříčce jednotkového čtverce, protíná obvod x^2 + Y^2 = 1 ve dvou bodech, jmenovitě (-1, -1) a (1, 1).
Systém rovnic x^2 + Y^2 = 1, Y = X má tedy dvě řešení: (-1, -1) a (1, 1).
Interpretace číselných hodnot
Systém rovnic sestávající z rovnice x^2 + y^2 = 1 a rovnice y = x má zajímavé číselné hodnoty.
První rovnice je rovnice kružnice se středem na začátku souřadnic a poloměrem 1. Popisuje všechny body v rovině (x, y), které jsou ve vzdálenosti 1 od začátku souřadnic.
Druhá rovnice je lineární rovnice představující přímku, která prochází začátkem souřadnic (0, 0) se sklonem 45 stupňů. Obsahuje všechny body v rovině (x, y), pro které jsou x a y stejné.
Systém rovnic x^2 + y^2 = 1 a y = x má dvě řešení: body (0, 0) a (1, 1). Obě tato řešení představují průsečíky kružnice a přímky.
Tato řešení lze ilustrovat na grafu, kde se obvod a přímka protínají v bodech (0, 0) a (1, 1).
Shrnutí výsledků
V tomto článku jsme se podívali na systém rovnic x^2 + y^2 = 1 a y = x. Substitucí výrazu y = x do první rovnice jsme získali kvadratickou rovnici x^2 + x^2 = 1, která dala jediné řešení x = ±1/√2.
Na základě hodnoty x můžeme také určit hodnoty y, protože y = x. máme tedy dvě řešení systému rovnic: (1/√2, 1/√2) A (-1/√2, -1/√2).
Systém rovnic má tedy přesně dvě řešení, která jsou body na jednotkovém kružnici a leží na přímce y = x.
V tomto článku jsme se zabývali systémem rovnic složeným z rovnice kružnice a čáry. Naším cílem bylo najít množství řešení tohoto systému.
Začali jsme psaním rovnic:
- Rovnice kružnice: x^2 + y^2 = 1
- Rovnice čáry: y = x
Systém jsme pak vyřešili tak, že jsme jednu rovnici nahradili druhou. Nahradit y = x do rovnice obvodu,:
Systém má tedy dvě řešení: (x, y) = (√(1/2), √(1/2)) и (x, y) = (-√(1/2), -√(1/2)), где x = y.