Pojem roviny a kolmosti je v geometrii velmi důležitý. Nabízí se přirozená otázka: kolik rovin kolmých na danou rovinu lze vést touto přímkou?
Odpověď na tuto otázku závisí na tom, zda se tato přímka protíná s danou rovinou nebo ne. Pokud přímka nepřekročí rovinu,není možné ji protáhnout rovinou kolmou k dané. V takovém případě by počet těchto rovin byl nulový.
Pokud však přímka protíná rovinu, lze přes ni vést nekonečný počet rovin kolmých na danou rovinu. Je to proto, že při průsečíku přímky s rovinou vzniká průsečík, který se může pohybovat v přímce a přitom si zachovává svou kolmost s rovinou. Každá poloha průsečíku bude odpovídat nové rovině kolmé k dané.
Co jsou kolmé roviny?
Kolmé roviny mají mnoho využití v různých oblastech vědy a techniky. Například v geometrii se používají ke konstrukci trojrozměrných modelů a určování vzdáleností a úhlů. V architektuře pomáhají kolmé roviny vytvářet stabilní a symetrickou konstrukci budov.
Chcete-li nakreslit rovinu kolmou k této rovině a procházející touto přímkou, musíte použít speciální geometrický postup. Tento postup se nazývá konstrukce kolmé roviny. Výsledkem je rovina, která protíná původní rovinu v pravém úhlu a obsahuje danou přímku.
Odpověď na otázku kolik kolmých rovin lze vést danou přímkou závisí na tom, kolik rovin kolmo k dané rovině lze nakreslit. V prostoru je možné vést nekonečný počet kolmých rovin danou přímkou.
Kolik rovin lze vést touto přímkou?
Pokud se však podíváme na trojrozměrný prostor, ve kterém je daná přímka umístěna, pak je možné nakreslit nekonečný počet rovin danou přímkou, které budou na sebe kolmé. Přímka bude osa, kolem které se budou otáčet roviny.
- Nechť tato přímka prochází začátkem souřadnic (0, 0, 0) v trojrozměrném prostoru. Rovina procházející touto přímkou a rovnoběžnou rovinou xy by pak měla rovnici z = 0.
- Pokud je tato přímka rovnoběžná s osou z, bude existovat nekonečné množství rovin, které procházejí danou přímkou a kolmými rovinami XY.
Jak určíte počet kolmých rovin?
Chcete-li určit počet rovin kolmých na danou rovinu a procházejících touto přímkou, musíte vzít v úvahu následující.
Pro začátek mají roviny kolmé k dané rovině společnou přímku průsečíku s touto rovinou, která se nazývá křížová linie. Aby byla křížová čára rovná, musí ležet v samotných rovinách kolmých rovin. Ve skutečnosti budou mít kolmé roviny stejnou křížovou linii.
Současně mají roviny kolmé k dané rovině také průsečík s danou přímkou. Tyto průsečíky se mohou v každé rovině lišit.
Proto bude počet kolmých rovin, které procházejí danou přímkou, určen počtem rovin, které protínají danou přímku, a průsečíků společných pro tyto roviny.
Počet kolmých rovin se tedy rovná počtu průsečíků těchto rovin s danou přímkou.
Příklad:
Předpokládejme, že tato přímka protíná pět rovin a každé dvě roviny mají jednu společnou křížovou linii. Počet kolmých rovin pak bude roven čtyřem.
Příklad:
Pomocí známých dat lze najít normální vektor roviny: $\vec = (2, -3, 4)$. Dále pomocí dané přímky a nalezeného normálního vektoru lze najít rovinné rovnice:
$2(x - 1) - 3(y - (-1)) + 4(z - 2) = 0 \Rightarrow 2x - 3y + 4z = 5$
$2(x - 1) - 3(y - (-1)) + 4(z - 2) = t \Rightarrow 2x - 3y + 4z = 5 + t$
Tímto způsobem lze přes danou přímku vést nekonečně mnoho rovin kolmých na danou rovinu.
Příklad 2: Nechť je tato rovina dána rovnicí $3x + 4y - 2z = 6$ a tato přímka prochází bodem (2, -1, 3) a má vodicí vektor (-1, 2, 5). Stejně jako předchozí příklad je nutné najít normální vektor ($\vec$) roviny a použít jej v rovnici roviny.
Vypočítáme normální vektor: $\vec = (3, 4, -2)$. Poté pomocí dané přímky a normálního vektoru získáme rovinové rovnice:
$3(x - 2) + 4(y - (-1)) - 2(z - 3) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 2z = 10$
$3(x - 2) + 4(y - (-1)) - 2(z - 3) = t \Rightarrow 3x + 4y - 2z = 10 + t$
Tímto způsobem lze přes danou přímku vést nekonečně mnoho rovin kolmých na danou rovinu.
Příklad 1
Předpokládejme, že tato rovina je dána rovnicí:
Ah + Wu + CZ + D = 0
kde A, B A C jsou souřadnice normálního vektoru dané roviny.
Nechť tato přímka prochází bodem M (x₁, y₁, z₁) a má vodicí vektor (l, m, n).
Pokud je rovina kolmá k dané přímce, pak bude normálový vektor N(A, B, C) této roviny kolmý na vektor směru přímky.
To znamená, že skalární součin vektorů N A (l, m, n) je nulový:
Když znáte souřadnice vodícího vektoru přímky, můžete tuto rovnici vyřešit vzhledem k souřadnicím normálního vektoru roviny a najít možné hodnoty A, B A C.
Tímto způsobem lze přes danou přímku vést nekonečný počet rovin kolmých na danou rovinu. Každá rovina bude mít svůj normální vektor, který lze určit, který splňuje podmínku kolmosti.
Příklad 2
- x = 2t;
- y = 4 - t;
- z = 7 + 3t.
Najdeme vodicí vektor přímky l:
- l: 2t, 4 - t, 7 + 3t
- l: (2, -1, 3).
Vzhledem k tomu, že vodicí vektor je přímo kolmý na rovinu α, rovina procházející přímkou l a kolmá na rovinu α existuje pouze v jednom směru. To znamená, že touto přímkou lze vést pouze jednu rovinu, která bude kolmá k rovině α.