Když se podíváme na ciferník hodinek, náš pohled okamžitě utíká k pozici střelce. Vidíme, jak se hladce pohybují v kruhu, což naznačuje, kolik času uplynulo nebo zbývá do nějaké události. Ale ne vždy přemýšlíme, kolikrát denně tyto šipky tvoří přímku. Zajímalo by mě, kolikrát se to děje a proč by takové informace mohly být užitečné?
Abychom na tuto otázku odpověděli, pochopme, jak se pohybují ručičky hodin. Hodinová ručička se každou hodinou otočí na ciferníku a minutová ručička dokončí obrat za 60 minut. Za každou hodinu tak tyto ručičky vytvoří určitý úhel. Musíme najít okamžik, kdy bude tento úhel nulový, to znamená, když budou šipky na stejné přímce.
Přesný počet takových okamžiků v denních hodinách lze nalézt po zvážení všech 24 hodinových intervalů od 0 do 24 hodin. Představte si, že minutová ručička je tečka a hodinová ručička je čára spojující tento bod se středem ciferníku. V intervalech od 0 do 12 hodin bude tato čára viditelná na vnější straně ciferníku a v intervalech od 12 do 24 hodin uvnitř ciferníku.
Kolikrát za den tvoří hodinové a minutové ručičky přímku: přesný počet
Tyto okamžiky jsou přibližně ve 12 hodin ráno a ve 12 hodin odpoledne. A i když přímka vzniká velmi krátce, je to jedinečný fenomén, který stále přitahuje pozornost lidí. Koneckonců, podívat se na okamžik, kdy se hodinové a minutové ručičky protínají v přímém rohu, můžete jen dvakrát denně.
Vysypeme přesné množství
Velmi překvapivá, ale správná odpověď na tuto otázku je celých 22. Určit přesný počet takových momentů může být poněkud obtížné, ale pomocí některých triků můžete snadno určit, kdy šipky tvoří přímku.
Podívejme se na to podrobněji:
- Křižovatka ve 12:00
- Křižovatka v 1: 05
- Křižovatka ve 2: 10
- Křižovatka ve 3: 15
- Křižovatka ve 4: 20
- Křižovatka v 5: 25
- Křižovatka v 6: 30
- Křižovatka v 7: 35
- Křižovatka v 8: 40
- Křižovatka v 9: 45
- Křižovatka v 10: 50
- Křižovatka v 11: 55
- Křižovatka ve 13: 50
- Křižovatka ve 14: 55
- Křižovatka v 15:00
- Křižovatka v 16: 05
- Křižovatka v 17: 10
- Křižovatka v 18: 15
- Křižovatka v 19: 20
- Křižovatka ve 20: 25
- Křižovatka ve 21: 30
- Křižovatka ve 22: 35
- Křižovatka ve 23: 40
Nyní, když znáte přesný počet okamžiků, kdy hodinové a minutové ručičky tvoří přímku, můžete se stát skutečným mistrem v odhadování času na hodinkách!
Studujeme přímku tvořenou šipkami
Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme zvážit pohyb šipek na ciferníku hodinek. Zpočátku, když hodiny ukazují 12:00, šipky tvoří přesný pravý úhel.
Poté se minutová ručička začne pohybovat a hodinová ručička zůstane na místě, dokud kolem ní neprojde minutová ručička. Když minutová ručička projde kolem směru hodinových ručiček, znovu vytvoří pravý úhel.
Abychom tedy určili, kolikrát za den tvoří hodinové a minutové ručičky přímku, musíme zjistit, kolikrát minutová ručička prochází kolem směru hodinových ručiček po půlnoci.
Všimněte si, že minutová ručička otočí celý ciferník za 60 minut, zatímco hodinová ručička dokončí obrat za 12 hodin. Minutová ručička tedy projde kolem hodinových ručiček 11krát za každou plnou rotaci hodinových ručiček.
Takže za 24 hodin minová ručička projde kolem směru hodinových ručiček 22krát (11krát za poledne a 11krát za půlnoc).
Odpověď: hodinové a minutové ručičky tvoří přímku 22krát denně.
Zjistěte počet úplných přímek
Abychom mohli vypočítat počet úplných přímek, které tvoří hodinové a minutové ručičky dvakrát denně, musíme použít matematický vzorec.
S každou minutou se hodinové a minutové ručičky přibližují k sobě a vytvářejí novou přímku. Pomocí vzorce kombinatoriky najdeme počet možných přímek:
n = (12 - 1) * (60 - 1) = 11 * 59 = 649
Za den tak hodinové a minutové ručičky tvoří 649 plných přímek.
Jak počítat? Dělíme na hodinu a na minuty!
Abychom zjistili, kolikrát za den tvoří hodinové a minutové ručičky přímku, musíme rozdělit den na hodiny a minuty.
Den má jen 24 hodin. Zvažte každou část jednotlivě:
Hodinová ručička
Hodinová ručička dokončí obrat za 12 hodin. To znamená, že za 1 hodinu projde úhlem rovným 360°/12 = 30°.
V každém padesátiminutovém intervalu se tedy hodinová ručička shoduje s minutovou šipkou a tvoří přímku.
Minutová ručička
Minutová ručička dokončí obrat za 60 minut. To znamená, že za 1 minutu projde úhlem rovným 360°/60 = 6°.
Minutová ručička se tedy otočí úplně a vytvoří přímku s hodinovou ručičkou 1krát za hodinu.
Nyní, abychom našli přesný počet okamžiků, kdy hodinové a minutové ručičky tvoří přímku, je nutné rozdělit den na 60 minutových intervalech (protože minutová ručička tvoří přímku 1krát za hodinu) a vynásobit 12 (protože hodinová ručička se shoduje s minutovou šipkou každých 5 minut).
| Interval | Kolikrát |
|---|---|
| 60 minutové intervaly | 60 |
| 12 hodinových intervalů | 12 |
Celkem tvoří hodinové a minutové ručičky přímku přesně 720krát denně.
Existuje analogie s maximálním počtem přímek?
Existuje zajímavá analogie mezi maximálním počtem přímek, které tvoří hodinové a minutové ručičky, a konceptem maximálního počtu přímek v geometrii.
V geometrii existuje známé pravidlo, že přes libovolné dva různé body lze nakreslit pouze jednu přímku. Maximální počet přímek, které lze vést přes N bodů, je tedy N (N-1)/2.
Pokud bychom tedy považovali hodinovou A minutovou ručičku za dva body na ciferníku, dalo by se předpokládat, že maximální počet přímek, které tvoří, je 2(2-1)/2 = 1. Tento předpoklad je však mylný.
Ve skutečnosti hodinové a minutové ručičky tvoří přímku dvakrát za každý kruh hodin, tedy za 12 hodin. Za den se tedy hodinová A minutová ručička vytvoří přímku 24krát.
Tato analogie ukazuje, že matematika a geometrie mohou být použitelné v různých oblastech našeho každodenního života, od měření času až po abstraktní koncepty v geometrii.
Dostáváme přesnou odpověď na otázku
Abychom zjistili, kolikrát za den tvoří hodinové a minutové ručičky přímku, musíme zvážit dva případy: jeden pro běžné hodiny a druhý pro hodiny s dělením 12 částí.
1. Pro běžné hodiny:
Hodinové a minutové ručičky se sbíhají v jednom bodě 11krát denně:
- 12:00
- V 1:05
- Ve 2: 11
- V 3: 16
- V 4: 22
- V 5: 27
- V 6:33
- V 7: 38
- V 8: 44
- V 9: 49
- 10: 55
2. Pro hodiny s dělením 12 částí:
Hodinové a minutové ručičky se sbíhají v jednom bodě 22krát denně:
- 12:00
- V 1:05
- Ve 2: 10
- Ve 3: 15
- Ve 4: 20
- V 5: 25
- V 6: 30
- V 7: 35
- V 8: 40
- V 9: 45
- 10: 50
- V 11: 55
- 13:00
- 14: 05
- 15:10
- V 16: 15
- 17: 20
- 18: 25
- V 19: 30
- 20:35
- 21: 40
- Ve 22: 45
- Ve 23: 50
Přesná odpověď na otázku je tedy 11krát pro běžné hodiny a 22krát pro hodiny s dělením 12 částí denně.