Úloha bissektriky vnějšího úhlu při vrcholu v geometrii.

Bissectris vnějšího úhlu na vrcholu - je to čára, která rozděluje vnější úhel při vrcholu na dvě stejné části. Tento úhel je tvořen jednou ze stran trojúhelníku a pokračováním druhé strany. Navzdory své jednoduchosti má bissectris vnějšího úhlu neobvyklé vlastnosti a lze jej použít při řešení různých geometrických problémů.

Dokážeme, že bissectris vnějšího úhlu na vrcholu je uvnitř trojúhelníku.

Zvažte trojúhelník ABC, ve kterém je úhel ACB vnějším úhlem na vrcholu B.nakreslíme bissektriku úhlu ACB a označíme jejich průsečík jako bod D. pomocí definice bissektriky můžeme konstatovat, že úhel ADB a úhel BDC jsou si rovny.

Předpokládejme, že bod D neleží uvnitř trojúhelníku ABC.

Vezměme si bod E, který bude odrazem bodu D vzhledem k straně AC. Prodloužíme čáru BE na průsečík s prodloužením strany AB a označíme průsečík jako bod F.vzhledem k tomu, že AE je pokračováním linie AD, pak je podle definice bissektriky úhlu ACB úhel dae roven úhlu EAF.

Dokažte bissektrice vnějšího úhlu na vrcholu:

Bissectris vnějšího úhlu na vrcholu trojúhelníku se nazývá segment, který rozděluje daný úhel na polovinu a protíná pokračování opačné strany.

Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC. Nechte D-bod na pokračování strany BC, která leží externě od trojúhelníku. Musíme dokázat, že úsečka AD je bissektrikou vnějšího úhlu na vrcholu a.

Pro důkaz této skutečnosti zvažte dva případy:

Případ 1: Bod D leží na pokračování strany BC mimo trojúhelník ABC.

1. Projdeme úseky AD a BD.
2. Nechť úhel BAD = α a úhel ABD = β.
3. Vzhledem k tomu, že úhly trojúhelníku ABC jsou součtem 180°, úhel ABC = γ = 180° - α - β.
4. Také podle konstrukce úhel ABD = úhel ABC, protože jsou odpovídající.
5. Pak úhel Abd = γ = 180° - α-β.
6. Z definice bissektriky tedy úsečka AD rozděluje úhel a na dva stejné úhly, to znamená, že úhly BAD a CAD jsou si rovny.
7. AD je tedy bissectrisem vnějšího úhlu na vrcholu A v případě, že bod D leží na pokračování strany BC mimo trojúhelník ABC.

Případ 2: Bod D leží na pokračování strany BC uvnitř trojúhelníku ABC.

1. Projdeme úseky AD a BD.
2. Nechť úhel BAD = α a úhel ABD = β.
3. Vzhledem k tomu, že úhly trojúhelníku ABC jsou součtem 180°, úhel ABC = γ = 180° - α - β.
4. Také podle konstrukce úhel ABD = úhel ABC, protože jsou odpovídající.
5. Pak úhel Abd = γ = 180° - α-β.
6. Z definice bissektriky tedy úsečka AD rozděluje úhel a na dva stejné úhly, to znamená, že úhly BAD a CAD jsou si rovny.
7. AD je tedy bissectrisem vnějšího úhlu na vrcholu A v případě, že bod D leží na pokračování strany BC uvnitř trojúhelníku ABC.

Bez ohledu na to, kde je bod D, je úsečka AD bissektrikou vnějšího úhlu na vrcholu a trojúhelníku ABC. Tato vlastnost bisektriky vyplývá z geometrických struktur a vlastností úhlů trojúhelníku.

Vlastnosti bissektriky:

Vlastnosti bissektriky vnějšího úhlu na vrcholu:

• Bissectris vnějšího úhlu je vnější až trojúhelníkový úhlový bissectris.
• Bissectris vnějšího úhlu rozděluje protilehlou stranu trojúhelníku na délky úměrné sousedícím stranám.
• Bissectris vnějšího úhlu je bissectris sousedícího vnitřního úhlu.
• Vnější úhel trojúhelníku je součtem vnitřního nespojitého úhlu a odpovídajícího sousedního vnějšího úhlu. Součet úhlů tvořených bissektrisy vnějšího úhlu a sousedícími stranami se tedy rovná vnějšímu úhlu trojúhelníku.

Díky těmto vlastnostem bissektriky vnějšího úhlu je široce používán v geometrických konstrukcích, stavbách a důkazech vět.

Důkaz:

Víme, že součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Proto úhel ACB + úhel BCA + úhel ABC = 180 stupňů. Je také známo, že úhel ACD se rovná polovině vnějšího úhlu na vrcholu, tedy úhlu ABC.

Proto úhel ACD = úhel ABC.

Protože úhel BCA + úhel ACD = úhel ACB, můžeme přepsat rovnost v následujícím tvaru: úhel ACB + úhel ACB = 180 stupňů.

To znamená, že dva úhly ACB jsou si rovny, což znamená, že bissectris vnějšího úhlu na vrcholu ACB jej rozděluje na dva stejné úhly.

Průsečík:

Úhly a jejich poměry:

Nejprve se podíváme na definici bissektriky vnějšího úhlu na vrcholu. Bissectris vnějšího úhlu na vrcholu rozděluje tento úhel na dva stejné úhly. Z této definice vyplývá, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů.

Zvažte trojúhelník ABC s vrcholem a a bissectrisem vnějšího úhlu na vrcholu, který protíná stranu BC v bodě D. Označíme úhly trojúhelníku ABC jako A, B A C.

Z vlastností bissektriky vyplývá, že úhly ACB a ACD jsou si rovny. Podle vlastností trojúhelníku je součet úhlů v trojúhelníku 180 stupňů, což znamená:

Úhly ACB a ACD jsou tedy stejné a obě se rovnají polovině součtu úhlů trojúhelníku CAB a ABC.

Tento poměr lze použít k řešení různých problémů spojených s trojúhelníky, například k nalezení neznámých úhlů trojúhelníku.

Důsledek:

1. Rovnost úhlů: Bissectris vnějšího úhlu na vrcholu rozděluje tento úhel na dva stejné úhly.

2. Stavba kolmice: Pokud budete pokračovat v bissektrice vnějšího úhlu na vrcholu až do křižovatky s opačnou stranou, získáte kolmici na tuto stranu.

3. Sledování bissectris: Pokud z bodu na straně trojúhelníku nakreslíte paprsek rovnoběžný s bissektrisem vnějšího úhlu na vrcholu, protne opačnou stranu trojúhelníku v bodě, který je symetrickým výchozím bodem vzhledem k bissektrice.

4. Rovnání bissektriky: Délka bissektriky vnějšího úhlu na vrcholu může být vyjádřena délkami stran trojúhelníku a semiperimetru.

Příklady použití:

Podívejme se na trojúhelník ABC, který má vrchol A mimo kružnici a vrcholy B A C na kružnici.

Pak by bissectris úhlu a, stejně jako vzdálenost od vrcholu A do přímky obsahující bissectris úhlu BAC, byla vnější bissectris úhlu ABC. Jinými slovy, rozdělí úhel ABC na polovinu.

Pomocí tabulky hodnot lze ilustrovat tuto vlastnost bissektriky vnějšího úhlu:

Jak je vidět z tabulky, bissectris úhlu ABC je vždy 45 stupňů Bez ohledu na hodnotu úhlu BAC. Tato vlastnost umožňuje použití bissektriky vnějšího úhlu k vytvoření přímek a nalezení úhlů v geometrických úkolech.