Geodézie je věda, která studuje techniky a přístroje k určení tvaru Země, její velikosti a polohy objektů na ní. Jedním z nejdůležitějších úkolů geodézie je určit nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na zemském povrchu známou jako přímý geodetický úkol.
K vyřešení přímého geodetického problému je nutné znát souřadnice dvou bodů. Existuje několik metod pro její řešení, ale nejjednodušší a nejpoužívanější je metoda geodetických souřadnic. Tato metoda využívá zeměpisnou šířku a délku bodů, které se měří ve stupních.
Přímý geodetický úkol spočívá v určení směru a vzdálenosti mezi dvěma body na zemském povrchu. Směr je definován úhlem mezi čárou spojující dva body a skutečným severem, obvykle měřeným ve směru hodinových ručiček. Vzdálenost se vypočítá v kilometrech nebo metrech.
Pro výpočet směru a vzdálenosti mezi dvěma body se používají speciální vzorce, které berou v úvahu nejen souřadnice bodů, ale také tvar a velikost Země. Jedním z takových vzorců je Vincentův vzorec, který umožňuje s velkou přesností řešit přímý geodetický problém.
Aplikace přímého geodetického úkolu je běžná v různých oblastech, jako je stavebnictví, mezinárodní doprava a cestování. Znalost metod a vzorců pro výpočet vzdáleností a směrů mezi body na zemském povrchu je důležitá pro optimalizaci nákladů a plánování tras.
Co je přímý geodetický úkol: definice a vlastnosti
Hlavní rysy přímého geodetického úkolu:
| Zvláštnost | Popis |
|---|---|
| Souřadnice počátečního bodu | Pro řešení přímého geodetického problému je nutné znát souřadnice počátečního bodu, ze kterého bude měření azimutu provedeno. |
| Azimut směr | Azimut je úhel mezi poledníkem a směrem k cíli. K vyřešení problému je nutné znát Azimut směru k cíli. |
| Geodetický úkol | Přímý geodetický úkol je jedním z hlavních úkolů geodézie a používá se k určení polohy objektů na zemském povrchu. |
Řešení přímého geodetického úkolu umožňuje určit souřadnice cíle a použít je k vytvoření grafických schémat, map, plánů a dalších geodetických prací.
Jednoduché vysvětlení přímého geodetického problému
Přímý geodetický úkol v geodézii odpovídá na otázku, jak určit souřadnice bodu B (zeměpisná délka a zeměpisná šířka) na zemském povrchu podle známých souřadnic bodu A a směru (azimutu) od bodu A do bodu B.tento úkol najde své uplatnění v navigaci, kartografii, geodetických měřeních a dalších oblastech.
Pro řešení přímého geodetického problému existují různé metody, z nichž jednou je metoda pomocí obdélníkové projekce (Vincentův vzorec). Tato metoda umožňuje najít vzdálenost a směr od bodu A do bodu B pomocí vzorců založených na geodetických souřadnicích (zeměpisná šířka a délka).
Jednoduchý způsob řešení přímého geodetického problému lze představit pomocí jednoduché tabulky, kde první řádek uvádí původní data (zeměpisná šířka a délka bodu A, směr ve stupních nebo radiánech) a druhý řádek vypočítané hodnoty.
| Výchozí data | Odhadované hodnoty |
|---|---|
| Šířka A: φA | Šířka B: φB |
| Délka a: λA | Délka b: λB |
| Směr (Azimut): α | Vzdálenost: s |
Určení souřadnic bodu B se provádí pomocí následujících vzorců:
Šířka B: φB = asin(sin φA * cos s + cos φA * sin s * cos α)
Délka b: λB = λA + atan2(sin α * sin s * cos φA, cos s − sin φA * sin φB)
V těchto vzorcích Sin a cos označují sinus a kosinus, zatímco asin a atan2 jsou reverzní funkce sinusu a tangence.
Použitím těchto vzorců na konkrétní hodnoty původních dat můžete vyřešit přímý geodetický problém a určit souřadnice bodu B s ohledem na směr z bodu A.
Příklady řešení přímého geodetického problému
Uvedeme několik příkladů řešení přímého geodetického problému, abychom lépe porozuměli tomu, jak pracovat se vzorci a aplikovat je do praxe.
Příklad 1:
Dané: počáteční souřadnice bodu A (zeměpisná šířka: 55°30'00" s. š., zeměpisná délka: 37°15'00" v. d.), Azimut přímého tahu α = 120°, vzdálenost S = 1000 m.
Najít: konečné souřadnice bodu B.
Řešení:
1. Převedeme zeměpisnou šířku a délku bodu A Z stupňů s minutami a sekundami na stupně s desetinnými zlomky:
zeměpisná šířka A: 55°30'00" = 55 + 30/60 = 55.5°
délka A: 37°15'00" = 37 + 15/60 = 37.25°
2. Převedeme Azimut α Z stupňů na radiány:
α = 120° * π / 180 ≈ 2.094 rad
3. Aplikujeme vzorce přímého geodetického úkolu:
f = 1/298 . 257223563-indikátor komprese SFE;
a = 6378245 m - velký poloos;
b = a * (1-f) - malý poloos;
N1 = a / √(1 - e^2 * sin_φ1^2);
C2 = e^2 * cos_φ1^2;
ssin = (sin_φ1 * cos_α)^2 + (sin_φ1 * sin_α)^2;
ccos = cos_α^2 + sin_α^2;
dd = √(ccos * cos_φ1^2 + ssin) - cos_φ1^2;
z = S / (dd + 2 * C2 * d^4 / (dd^3 * cccos));
lat_φ2 = z * cos_α * sin_φ1 + S / (dd * a * cos_φ1);
lon_φ2 = a * sin_φ1 / dd + z * sin_α * cos_φ1;
lon_φ2 = lon_φ1 + lon_φ2 / cos_φ1;
Nakonec získáme konečné souřadnice bodu B:
zeměpisná šířka B: lat_φ2 = 55.686°
délka B: lon_φ2 = 37.635°
Konečné souřadnice bodu B jsou tedy: (zeměpisná šířka: 55.686°, zeměpisná délka: 37.635°).
Příklad 2:
Dané: počáteční souřadnice bodu A (zeměpisná šířka: 45°30'00" s. š., zeměpisná délka: 90°00'00" v. d.), Azimut přímého tahu α = 270°, vzdálenost S = 5000 m.
Najít: konečné souřadnice bodu B.
Řešení:
Podobně jako příklad 1, převedeme souřadnice a převedeme Azimut z stupňů na radiány.
Nakonec získáme konečné souřadnice bodu B: (zeměpisná šířka: 45.674°, zeměpisná délka: 90°00 '00" v. D.)
Při řešení přímého geodetického problému tedy můžeme najít koncové souřadnice bodu B podle daných počátečních souřadnic bodu A, azimutu α a vzdálenosti s.
Příklad 1: Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body na zemském povrchu
V tomto příkladu se podíváme na to, jak vypočítat vzdálenost mezi dvěma body na zemském povrchu a zeměpisnou šířkou.
K výpočtu vzdálenosti mezi dvěma body použijeme garveniův vzorec, který je založen na reprezentaci země jako elipsoidu spíše než koule. Tato reprezentace je přesnější než reprezentace země jako koule, ale vyžaduje složité matematické výpočty.
Garveniův vzorec má následující vzhled:
- vzdálenost = R * arccos(sin (zeměpisná šířka1) * sin (zeměpisná šířka2) + cos (zeměpisná šířka1) * cos (zeměpisná šířka2) * cos (zeměpisná šířka2-zeměpisná šířka1))
- R-poloměr Země (průměrný poloměr je asi 6371 km)
- zeměpisná šířka1, zeměpisná šířka2-zeměpisná šířka prvního a druhého bodu (v radiánech)
- zeměpisná délka1, zeměpisná délka2-délka prvního a druhého bodu (v radiánech)
Nyní se podívejme na příklad:
- Nechť má první bod souřadnice zeměpisné šířky 52.5200° a zeměpisné délky 13.4050°
- Nechť druhý bod má souřadnice zeměpisné šířky 48.8566° a zeměpisné délky 2.3522°
Nyní zapíšeme data do radiánů:
- zeměpisná šířka1 = 52.5200 * (π / 180) ≈ 0.9163 radián
- zeměpisná délka1 = 13.4050 * (π / 180) ≈ 0.2342 radián
- zeměpisná šířka2 = 48.8566 * (π / 180) ≈ 0.8527 radián
- zeměpisná délka2 = 2.3522 * (π / 180) ≈ 0.0410 radián
Vložíme data do Garveniova vzorce a vypočítáme vzdálenost:
- vzdálenost = 6371 * arccos(sin(0.9163) * sin(0.8527) + cos(0.9163) * cos(0.8527) * cos (0.0410 - 0.2342) ≈ 1033.52 km
Vzdálenost mezi těmito dvěma body na zemském povrchu je tedy přibližně 1 033,52 km.
Příklad 2: Určení směru z jednoho bodu na druhý na geodetické čáře
Řekněme, že máme dva geodetické body A A B a chceme určit směr z bodu A do bodu B na geodetické linii. V tomto příkladu použijeme vzorec přímočarého geodetického úkolu k výpočtu směru.
Pro začátek budeme potřebovat souřadnice bodů A A B a hodnoty délky a azimutu geodetické čáry spojující tyto body.
Nechť jsou souřadnice bodu A rovny zeměpisné šířce φ₁ a délce λ λ a souřadnice bodu B se rovnají zeměpisné šířce φ φ a délce λ λ. Také nechť délka geodetické čáry je D a azimut je α.
Pro výpočet normálního azimutu α₀ (tj. azimutu z bodu A do bodu B) můžeme použít následující vzorec:
α₀ = α + 180°
Nyní známe normální Azimut α₀. Abychom jej však mohli používat v praxi, musíme vzít v úvahu severní směr a rozsah hodnot azimutu (obvykle od 0° do 360°). K tomu musíme upravit hodnotu α₀.
Pokud α₀ > 360°, odečteme 360°. Pokud α₀ < 0°, přidáme 360°.
Konečnou hodnotu azimutu α₀ lze tedy vypočítat následovně:
α₀ = (α₀ + 360°) % 360°
Nyní máme určitý směr od bodu A k bodu B na geodetické čáře. Tento směr můžeme použít k navigaci, plánování trasy a dalším geodetickým úkolům.
Vzorce pro výpočet přímého geodetického úkolu
Pro výpočet přímého geodetického problému, tj. určení souřadnic koncového bodu (zeměpisné šířky a délky) na základě známých souřadnic počátečního bodu, azimutu a vzdálenosti, se používají následující vzorce:
- Zeměpisná šířka koncového bodu: φ₂ = asin(sin(φ₁) * cos(δ) + cos(φ₁) * sin(δ) * cos(α))
- Délka koncového bodu: λ₂ = λ₁ + atan2(sin(α) * sin(δ) * cos(φ₁), cos(δ) - sin(φ₁) * sin(φ₂))
- φ₁ a λ λ-zeměpisná šířka a délka počátečního bodu (v radiánech)
- δ-vzdálenost mezi počátečním a koncovým bodem (v radiánech)
- α-Azimut, tedy směr na koncový bod (v radiánech)
- φ₂ a λ λ-zeměpisná šířka a délka koncového bodu (v radiánech)
K provádění výpočtů se obvykle používá trigonometrická funkce sinus ( sin ), kosinus ( cos ) a arctangens (atan2 ).
Příklady výpočtu souřadnic koncového bodu u známých zdrojových dat mohou vypadat následovně:
- Počáteční bod se souřadnicemi (56.75°, 37.62°), Azimut 130° a vzdálenost 10 km.je třeba najít souřadnice koncového bodu.
- Vypočítáme hodnoty v radiánech: φ₁ = 56.75° * π / 180 = 0.991° , λ₁ = 37.62° * π / 180 = 0.656° a α = 130° * π / 180 = 2.268° .
- Vypočítáme šířku koncového bodu: φ₂ = asin(sin(0.991) * cos(10 / 6371) + cos(0.991) * sin(10 / 6371) * cos (2.268)) = 0.999° .
- Vypočítáme délku koncového bodu: λ₂ = 0.656 + atan2(sin(2.268) * sin(10 / 6371) * cos(0.991), cos(10 / 6371) - sin(0.991) * sin (0.999)) = 0.677° .
- Převedeme hodnoty zpět na stupně: φ₂ = 0.999 * 180 / π = 57.22° a λ λ = 0.677 * 180 / π = 38.77° .
- Počáteční bod se souřadnicemi (45.00°, -73.50°), Azimut -30° a vzdálenost 5 mil. Je třeba najít souřadnice koncového bodu.
- Vypočítáme hodnoty v radiánech: φ₁ = 45.00° * π / 180 = 0.785° , λ₁ = -73.50° * π / 180 = -1.282° a α = -30° * π / 180 = -0.524° .
- Vypočítáme šířku koncového bodu: φ₂ = asin(sin(0.785) * cos(5 / 3963.19) + cos(0.785) * sin(5 / 3963.19) * cos (-0.524)) = 0.788° .
- Vypočítáme délku koncového bodu: λ₂ = -1.282 + atan2(sin(-0.524) * sin(5 / 3963.19) * cos(0.785), cos(5 / 3963.19) - sin(0.785) * sin (0.788)) = -1.289° .
- Převedeme hodnoty zpět na stupně: φ₂ = 0.788 * 180 / π = 45.13° a λ λ = -1.289 * 180 / π = -73.73° .
Pomocí těchto vzorců lze tedy snadno a přesně vypočítat souřadnice konečného bodu přímého geodetického úkolu.