Muaurova metoda je jedním z nejdůležitějších nástrojů v teorii pravděpodobnosti a matematických statistikách. Umožňuje najít hodnotu komplexního čísla v trigonometrické formě, tedy ve formě modulu a argumentu. Podrobné studium muaurovy metody umožňuje řešit různé úkoly související s komplexními čísly a jejich operacemi.
Co je vzorec Moaura?
Muaurův vzorec umožňuje vypočítat stupně komplexních čísel v exponenciální formě. Je založena na základní trigonometrické formě komplexního čísla, která jej představuje jako součet modulu a argumentu.
- Vzorec Muaura má následující vzhled:
- Pro komplexní číslo z = r (cosθ + isinθ) a přirozené číslo n:
- z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
- z-komplexní číslo
- r-modul komplexního čísla (vzdálenost od začátku souřadnic k bodu v komplexní rovině)
- θ je argument komplexního čísla (úhel mezi kladným směrem osy x a vektorem spojujícím začátek souřadnic a bod v komplexní rovině)
Muaurův vzorec je mocný nástroj, který lze použít ke zjednodušení výpočtů s komplexními čísly, zejména při jejich konstrukci do velkých stupňů. Nachází uplatnění v různých oblastech vědy a techniky, jako je elektrotechnika, fyzika, teorie řízení atd.
V jakých případech se používá vzorec Moaur?
Když je v úkolech potřeba postavit komplexní číslo na stupeň, muaurův vzorec poskytuje pohodlný způsob řešení. Umožňuje vám představit komplexní číslo v trigonometrické formě a použít trigonometrické funkce k výpočtu stupně.
Muaurův vzorec je také široce používán při hledání kořenů z komplexních čísel. Při použití muaurova vzorce lze snadno najít všechny kořeny daného stupně z komplexního čísla, což může být užitečné při řešení rovnic a hledání řešení v různých oblastech vědy.
Muaurův vzorec je tedy mocným nástrojem, který nachází uplatnění v mnoha vědeckých disciplínách a umožňuje zjednodušit a zlepšit přesnost výpočtů s komplexními čísly.
Krok 2: Uveďte komplexní číslo do orientačního tvaru pomocí Eulerova vzorce: r(cos θ + i*sin θ), kde r modul komplexního čísla a θ - jeho argument nebo úhel.
Krok 3: Odvozte vzorec Moaura nahrazením orientačního tvaru jeho ekvivalentem v trigonometrické formě: r(cos θ + i*sin θ).
Krok 4: Otevřete závorky ve vzorci Muaura a zjednodušte výraz. Vyjádřete platnou a imaginární část částky, pokud jde o sinusy a kosiny. Například pokud je ve vzorci Moaura uveden výraz (a + bi)^n, pak zvažte každý slagovaný druh a^m * b^(n-m), kde m - celé číslo od 0 do n. Zjednodušte každé slagování pomocí trigonometrických vzorců (např., cos(a+b)=cos a * cos b - sin a * sin b).
Krok 5: Získejte konečný výsledek vyjádřený v trigonometrické formě.
Například u komplexního čísla 2 + 2i v algebraické formě:
Uvedeme ho do orientačního tvaru pomocí Eulerova vzorce:
θ = arctan(b/a) = arctan(2/2) = π/4
Nyní s vědomím významů r a θ můžeme odvodit vzorec Moaura.:
Příklady použití vzorce Muaura
Příklad 1:
Zvažte výraz (1 + i) na stupni 5. K výpočtu tohoto výrazu můžeme použít vzorec Muaura. Prvním krokem je modul a argument čísla (1 + i). Modul se rovná odmocnině ze součtu čtverců fyzických a imaginárních částí, tj. √(1^2 + 1^2) = √2. Argument lze nalézt pomocí funkce atan2 z matematické knihovny, jako je arctan (1/1) = π/4. Nyní použijeme vzorec Muaura: (R * (cos(θ) + i * sin (θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin (nθ))). V našem případě dostaneme (√2^5) * (cos(5 * π / 4) + i * sin ( 5 * π/4)) = 4√2 * (-1/√2 + i / √2) = -4 + 4i.
Příklad 2:
Řekněme, že musíme najít 6.kořen z √3/2 + i/2. Znovu použijeme vzorec Muaura. Najdeme modul čísla, který se rovná odmocnině ze součtu čtverců fyzických a imaginárních částí: √((√3/2)^2 + (1/2)^2) = √((3/4) + (1/4)) = √1 = 1. Argument čísla lze nalézt pomocí funkce atan2: arctan((1/2)/(√3/2)) = π / 6. Použijeme vzorec Muaura: (R * (cos(θ) + i * sin(θ)))^(1/n) = r^(1/n) * (cos (θ/n) + i * sin (θ/n))). Dostaneme 1^(1/6) * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) = cos(π/36) + i * sin(π/36).
Příklad 3:
Podívejme se na výraz (2 - 3i) na stupeň 4. Najdeme modul čísla: √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13. Argument lze nalézt pomocí funkce atan2: arctan (-3/2) = -1.1071 rad. Použijeme vzorec Muaura: (R * (cos(θ) + i * sin (θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin (nθ))). Dostaneme (√13^4) * (cos (4 * -1.1071) + i * sin(4 * -1.1071)) = 13^2 * (cos(-4.4285) + i * sin(-4.4285) - 14.305-20.321 i.
Výpočet trigonometrických funkcí pomocí muaurova vzorce
Vzorec Muaura má následující vzhled:
(cos φ + i sin φ) n = cos(nφ) + i sin(nφ)
- φ - argument komplexního čísla;
- n – exponent;
- i - imaginární jednotka (i 2 = -1).
Pro výpočet trigonometrických funkcí pomocí muaurova vzorce je nutné provést následující kroky:
- Najít hodnotu argumentu čísla (φ a míra (n) pro požadovanou funkci.
- Vypočítat význam výrazu nφ.
- Výslednou hodnotu vydělte 180 a vynásobte π, abyste přešli z stupňů na radiány.
- Vypočítejte hodnotu kosinu a sinusu výsledného úhlu podle tabulek nebo pomocí kalkulačky.
- Nahradit kosinus a sinus získaného úhlu ve vzorci Moaur pro konečný výsledek.
Například pro výpočet hodnoty trigonometrické funkce sin( 2φ), kde φ = 45°:
- Máme daný význam φ, rovná se 45° a je nutné najít hodnotu sin(2φ).
- Protože chceme vypočítat hodnotu sin( 2φ), exponent n rovná se 2.
- Vypočítáme hodnotu výrazu nφ: 2 * 45° = 90°.
- Převedeme 90° na radiány: 90 ° * π / 180 = π / 2.
- Najdeme sin (π/2) v tabulce nebo pomocí kalkulačky – výsledek je 1.
- Vložíme nalezenou hodnotu do vzorce Muaura: sin(2φ) = sin(π/2) = 1.
Sin (26) při φ = 45° rovná se 1.
- Vyjádřeno komplexní číslo v trigonometrické formě.
- Napsal vzorec Muaura v obecné podobě.
- Nastražili hodnoty z kroku 1 do Formule Muaura.
- Prováděli potřebné výpočty pomocí vlastností trigonometrických funkcí.
- Výsledek je v komplexní formě.
Tento proces ilustrujeme na příkladu:
Je dáno komplexní číslo z = 3 + 4i.
Krok 1: vyvedeme komplexní číslo v trigonometrické formě.
Formule Výpočet r = |z| = √(3 2 + 4 2 ) = 5 r = 5 φ = arctg (Im(z) / Re(z)) = arctg (4 / 3) ≈ 53.13° φ ≈ 53.13° Komplexní číslo z = 3 + 4I v trigonometrické formě se tedy rovná z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°).
Kroky 2-5: Napíšeme a vyřešíme vzorec Moaura.
Muaurův Vzorec Výpočet z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) z 3 = 5 3 (cos(3 * 53.13°) + i sin(3 * 53.13°)) z 3 = 125(cos(159.39°) + i sin(159.39°)) z 3 ≈ 125(-0.766 + 0.643i) Výsledkem výpočtu muaurova vzorce pro číslo z 3 Při z = 3 + 4i je tedy komplexní číslo z 3 na 125(-0.766 + 0.643 i).
Pomocí tohoto podrobného návodu můžete snadno odvodit vzorec Muaura pro různá komplexní čísla a stupně.