Trojúhelník je jedním z nejstudovanějších a nejoblíbenějších geometrických tvarů, které přitahují pozornost vědců a matematiků po celá staletí. Zájem o tuto postavu je způsoben mimo jiné i otázkou plochy trojúhelníku a jeho vztahu k délce jeho stran.
Jednou ze zajímavých otázek v geometrii je srovnání díla dvou stran trojúhelníku a jeho plochy. Zpočátku se může zdát, že tyto dvě hodnoty musí být proporcionální - čím větší je součin délek stran, tím větší je plocha trojúhelníku.
Tento předpoklad je však neudržitelný. Praktické zkušenosti a matematické výpočty ukazují, že plocha trojúhelníku nezávisí na součinu délek jeho stran. V tomto článku pochopíme, proč tomu tak je a jak jsou tyto dva pojmy spojeny.
Ovlivňuje součin stran plochu trojúhelníku?
Pro odpověď na tuto otázku si vzpomeňme na Geronův vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku: s = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))), kde P je semiperimetr trojúhelníku, a, b, C je délka jeho stran.
Z tohoto vzorce je vidět, že součin délek stran trojúhelníku přímo neovlivňuje jeho plochu. Všimněte si, že plocha závisí na semiperimetru trojúhelníku a rozdílu semiperimetru a délek každé ze tří stran. Změna součinu dvou stran tedy může ovlivnit plochu pouze změnou rozdílu polovičního metru a délek třetí strany trojúhelníku.
Pokud se například zvětší délky dvou stran trojúhelníku, aby se zachoval konstantní rozdíl mezi poloverimetrem a délkou třetí strany, musí se délka třetí strany snížit. To může vést ke snížení plochy trojúhelníku. Součin délek obou stran však přímo neovlivňuje plochu.
Změna součinu délek dvou stran trojúhelníku tedy může ovlivnit jeho plochu pouze v případě, že se změní délka třetí strany, aby se zachoval konstantní rozdíl mezi poloverimetrem a délkou třetí strany. V ostatních případech součin stran sám o sobě neovlivňuje plochu trojúhelníku.
Analýza možného snížení plochy
Plochu trojúhelníku lze zmenšit změnou délky jeho stran. Zvažte několik případů:
- Pokud změníte jednu ze stran a zároveň zachováte úhly trojúhelníku, může se plocha zmenšit. Pokud například snížíte jednu ze stran bez změny ostatních stran, plocha se sníží úměrně změně této strany.
- Pokud se zmenší dvě strany trojúhelníku beze změny úhlů, zmenší se také Plocha. Je to proto, že plocha trojúhelníku závisí na délce jeho stran a sinusu úhlu mezi nimi.
- Pokud se současně zmenší všechny strany trojúhelníku tak, aby všechny vztahy délek stran zůstaly proporcionální, plocha trojúhelníku se zmenší na druhou stranu tohoto poměru. Pokud například snížíte všechny strany na polovinu, plocha se sníží na čtyřnásobek.
Je tedy možné zmenšit plochu trojúhelníku při změně délek jeho stran.