Vytvoření roviny dané dvěma protínajícími se přímkami - to je důležitý úkol v geometrii. Všichni víme, že rovina je geometrické těleso, které má dvě dimenze: délku a šířku. Abychom však mohli postavit rovinu, musíme vědět ještě více - dvě protínající se přímky.
Před zahájením stavby se ujistěte, že již máte dvě protínající se přímky. Pokud ne, použijte k jejich konstrukci geometrickou sadu.
Krok 1: Vezměte list papíru a nakreslete dvě protínající se přímky. Mohou být libovolné délky a směru, ale musí se nutně protínat V jednom bodě. Označte tento bod jako A.
Krok 2: Umístěte kompas na tento bod tak, aby jeho rukojeť směřovala dolů. Pomocí kompasu nakreslete oblouk od bodu A, abyste získali obvod.
Krok 3: Vyberte jakýkoli jiný bod B na jedné z přímek a umístěte kompas na tento bod. Znovu nakreslete oblouk pomocí kompasu, abyste získali druhý obvod.
Krok 4: průsečík dvou kružnic označuje bod C, který leží na rovině dané dvěma přímkami. Spojte body a A C čárou. Totéž udělejte i s bodem B.výsledkem je rovina daná dvěma protínajícími se přímkami.
Nyní máte krok za krokem průvodce pro stavbu roviny dané dvěma protínajícími se přímkami. Proveďte tento postup několikrát, abyste upevnili materiál a zlepšili dovednosti. Hodně štěstí!
Zvýraznit protínající se přímky
Rovnice přímky v prostoru má tvar:
ax + by + cz + d = 0
kde a, b, c jsou koeficienty, které určují vodicí vektory přímky, zatímco d je volný člen.
Pro určení rovnice přímky je nutné znát její vodicí vektor. Vodicí vektor lze nalézt pomocí dvou různých bodů ležících na přímce.
Pokud jsou nastaveny dvě protínající se přímky, pak každá z nich má své vlastní rovnice:
Rovnice první přímky: A1X + b1y + c1z + d1 = 0
Rovnice druhé přímky: A2X + b2y + c2z + d2 = 0
Pro přidělení protínajících se přímek je nutné vyřešit systém rovnic sestavený z rovnic těchto přímek.
Pokud má systém jediné řešení, pak se přímky protínají. V tomto případě bude průsečík přímky společným bodem roviny.
Pokud systém nemá řešení, přímky se nepřekrývají. V tomto případě lze říci, že protínající se přímky nedávají rovinu.
Určete průsečík přímek
Chcete-li vytvořit rovinu určenou dvěma protínajícími se přímkami, musíte znát bod jejich průsečíku. Pomocí geometrických metod lze určit souřadnice tohoto bodu.
K tomu je třeba najít rovnice obou přímek. Každá přímka může být dána rovnicí typu y = kx + b, kde K je koeficient sklonu, B je volný člen.
Po nalezení rovnic přímek je nutné vyřešit systém rovnic složený z těchto dvou rovnic. Řešením by byl bod, ve kterém se přímky protínají.
K řešení systému rovnic lze použít zástupnou metodu nebo metodu sčítání/odčítání rovnic.
| Kroky k určení průsečíku přímek |
|---|
| 1. Najít rovnice obou rovnic y = kx + b. |
| 2. Vytvořte systém rovnic z nalezených rovnic přímek. |
| 3. Vyřešit systém rovnic pomocí zástupné metody nebo metody sčítání/odčítání rovnic. |
| 4. Získejte souřadnice průsečíku přímek. |
Nyní, s souřadnicemi průsečíku přímek, je možné vytvořit rovinu danou těmito dvěma přímkami. K tomu je třeba znát další bod na každé z přímek.
Známé body spolu s průsečíkem přímek jsou základnou pro konstrukci roviny. Pomocí matematických metod lze vytvořit rovinu procházející těmito třemi body.
Definice průsečíku přímek je tedy důležitým krokem pro konstrukci roviny dané těmito přímkami.
Najít další bod na každé přímce
Chcete-li vytvořit rovinu určenou dvěma protínajícími se přímkami, musíte na každé přímce najít další bod. K tomu lze použít různé metody. Podívejme se na ně podrobněji:
- První metoda: pokud máte souřadnice dvou bodů na každé přímce, můžete je použít k nalezení třetího bodu. K tomu můžete použít vzorec pro nalezení středu úsečky mezi dvěma body: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2, kde (x, y) jsou souřadnice třetího bodu.
- Druhá metoda: pokud máte rovnice přímek, můžete vyřešit jejich systém a najít průsečík přímek. K tomu je třeba vytvořit systém lineárních rovnic a vyřešit je. Výsledné hodnoty x a y budou souřadnice průsečíku.
- Třetí metoda: pokud máte vodicí vektory pro každou přímku, můžete je použít k nalezení bodu na přímce. Chcete-li to provést, můžete vzít libovolný bod na přímce a přidat k němu součin vodicího vektoru na určité číslo T. výsledné hodnoty x a y budou souřadnice hledaného bodu.
Vyberte správnou metodu pro svůj úkol a najděte další bod na každé přímce. Poté budete připraveni postavit rovinu danou dvěma protínajícími se přímkami.
Vytvořte dva vektory pomocí nalezených bodů
Jakmile najdeme průsečíky přímek, můžeme vytvořit dva vektory pro konstrukci roviny.
K tomu budeme potřebovat vektor vycházející z jednoho z nalezených bodů a směřující na druhý bod.
Sestavíme první vektor AB, kde A je jeden z nalezených bodů a B je druhý bod.
Pro druhý vektor CD se nám budou hodit dva průsečíky přímek s osami souřadnic.
Nalezené průsečíky s osami souřadnic jsou souřadnice vektoru při projekci na ose.
Jeden z bodů tedy bude (x, 0, 0) a druhý (0, y, 0).
Vytvoříme druhý vektor CD, vezmeme - li jej jako začátek bod (x, 0, 0) a konec jako bod (0, y, 0).
Nyní máme dva vektory AB a CD, které můžeme použít k vytvoření roviny dané dvěma protínajícími se přímkami.
| Vektor | Souřadnice začátku | Souřadnice konce |
|---|---|---|
| AB | A | B |
| CD | (x, 0, 0) | (0, y, 0) |
Vytvořte rovinu pomocí nalezených vektorů a průsečíku
Po nalezení vektorových rovnic dvou protínajících se přímek a jejich průsečíku lze přejít k konstrukci roviny, která tyto přímky obsahuje.
K vytvoření roviny je třeba použít nalezené vektory, což jsou vodicí vektory přímek, a bod, ve kterém se tyto přímky protínají.
Kroky pro stavbu roviny:
- Najděte vodicí vektory přímek. Mohou to být vektory odpovídající koeficientům před proměnnými v rovnicích přímek.
- Zkontrolujte, zda vektory nejsou kolinearní, to znamená, že nejsou vzájemně proporcionální.
- Vyberte křížový bod přímky jako bod v rovině.
- Vytvořte rovinu pomocí nalezených vektorů a bodu:
| Algoritm | Rovina rovnice |
| 1 | (x - x0)·n1 = 0 |
| 2 | (x - x0)·n2 = 0 |
Kde x0 - souřadnice průsečíku, n1 a n2 - vodicí vektory přímek.
Zadáním hodnot souřadnic v rovinách roviny lze tedy získat body v této rovině.