Neurčitý integrál je jedním z důležitých pojmů matematické analýzy. Umožňuje najít funkci, jejíž derivace se rovná dané funkci. V tomto článku se podíváme na to, jak vypočítat neurčitý integrál ze součtu dvou funkcí.
Vzorec pro výpočet neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí má:
∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx,
kde f(x) a g (x) jsou funkce, pro které je třeba najít neurčitý integrál.
Chcete-li vypočítat neurčitý integrál ze součtu dvou funkcí, musíte vypočítat neurčitý integrál každé funkce jednotlivě a poté sčítat jejich výsledky.
Vezměme si příklad výpočtu neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí. Nechť f(x) = x^2 + 3x a g (x) = 2x - 1. Najdeme neurčitý integrál od f (x) + g (x).
Co je neurčitý integrál?
Neurčitý integrál je označen symbolem ∫ a zaznamenán jako ∫f(x)dx, kde f (x) je integrační funkce a DX je diferenciál proměnné x.
K výpočtu neurčitého integrálu se používá proces integrace, který spočívá v nalezení funkce F(x), jako je F'(x) = f(x). Pokud je tedy F(x) původní funkcí, pak F (x) je její primární nebo antiprodukční.
Neurčitý integrál lze použít k řešení různých problémů, včetně nalezení plochy pod křivkou, určení práce, výpočtu hodnoty zboží a dalších.
Příklad výpočtu neurčitého integrálu:
| Zdrojová funkce f (x) | Prvovýroba F (x) |
|---|---|
| f(x) = 3x^2 | F(x) = x^3 |
| f(x) = 2x + 5 | F(x) = x^2 + 5x + C |
| f(x) = sin(x) | F(x) = -cos(x) + C |
V každém příkladu byla primární F(x) nalezena integrací původní funkce f (x).
Je důležité poznamenat, že neurčitý integrál má nejistotu ve formě trvalé integrace C, kterou lze přidat do primární funkce. Je to proto, že derivát konstanty je nulový, a proto lze do primární funkce přidat jakoukoli konstantu, aniž by se její derivace změnila.
Definice a základní vlastnosti
\[\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx\]
Základní vlastnosti neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí:
- Linearita: \(\int(cf(x)) \, dx = c \int f(x) \, dx\), kde \(C\) je konstanta.
- Komutativnost: \(\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int (g(x)+f(x)) \, dx\).
- Asociativita: \(\int (f(x)+(g(x)+h(x))) \, dx = \int ((f(x)+g(x))+h(x)) \, dx\).
Tyto vlastnosti umožňují snadnější výpočet neurčitých integrálů ze složitých funkcí jejich rozdělením na jednodušší.
Jak vypočítáte integrál ze součtu dvou funkcí?
Vzorec pro výpočet integrálu ze součtu dvou funkcí je následující:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Chcete-li vyřešit problém výpočtu integrálu ze součtu dvou funkcí, musíte integrál rozdělit na dvě části a každou z nich vypočítat samostatně. Nejprve integrujeme první funkci, poté druhou a poté sečteme výsledky.
Podívejme se na příklad výpočtu integrálu ze součtu dvou funkcí:
Vypočítáme integrál z součtu funkcí f (x) = 2x + 3 a g (x) = x^2:
∫(2x + 3 + x^2) dx = ∫2x dx + ∫3 dx + ∫x^2 dx
Integrovat první funkci:
Integrovat druhou funkci:
∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C3
Nyní kombinujeme výsledky:
∫(2x + 3 + x^2) dx = x^2 + 3x + (1/3)x^3 + C
Kde C1, C2, C3 a C jsou libovolně konstantní.
Takže jsme vypočítali integrál ze součtu dvou funkcí.
Stejně tak je možné vypočítat integrály z součtu většího počtu funkcí rozdělením integrálu na odpovídající počet částí a jejich počítáním.
Vzorec pro výpočet integrálu ze součtu dvou funkcí
Neurčitý integrál ze součtu dvou funkcí lze vypočítat podle vzorce:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
kde ∫ označuje integrál, f(x) a g (x) jsou dvě funkce proměnné x.
Tento vzorec umožňuje zjednodušit výpočet neurčitých integrálů ze složitých funkcí jejich rozdělením na součásti a integrací každé části Samostatně.
Vezměme si příklad výpočtu integrálu ze součtu dvou funkcí:
| Výraz | Integrál |
|---|---|
| ∫(2x^2 + 3x) dx | ∫2x^2 dx + ∫3x dx |
| (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + C |
V tomto příkladu jsme integrál rozdělili ze součtu dvou funkcí do dvou samostatných integrálů, které byly poté integrovány jednotlivě. Po integraci každé části jsme získali výsledek jako algebraický součet těchto integrálů s konstantou C, která je obvykle označována jako libovolná konstanta.
Příklad 1: Výpočet neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí
Vezměme si příklad výpočtu neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí. Nechť jsou uvedeny funkce f(x) = x^2 a g (x) = 3x. je třeba vypočítat integrál z(f(x) + g (x))DX.
Pro začátek, pro vlastnost linearity integrálu, můžeme součet rozdělit na dva integrály: integrál z f(x)dx a integrál z g(x)DX.
Integrál z f (x)dx je (1/3)x^3 + C1, kde C1 je libovolná konstanta.
Integrál z g (x)dx je (3/2)x^2 + C2, kde C2 je libovolná konstanta.
Pak se integrál z(f(x) + g(x))DX rovná součtu integrálů z f(x) a g (x), to znamená ((1/3)x^3 + C1) + ((3/2)x^2 + C2), což lze zjednodušit na (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + (C1 + C2), kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
Nedefinovaný integrál z(f(x) + g (x))DX je tedy (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C, kde C je libovolná konstanta.
Uvedený vzorec pro výpočet neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí nám umožňuje efektivně najít integrály ze složitých výrazů, rozdělit je na jednodušší komponenty a použít vlastnost linearity integrálu.
Příklad 2: Výpočet neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí
Představme si, že musíme vypočítat neurčitý integrál ze součtu dvou funkcí: f(x) = 2x + 3 a g(x) = x^2 + 4x.
Než začneme s výpočty, musíme znát základní pravidla diferenciace a integrace funkcí. V tomto případě použijeme následující pravidlo:
Pokud jsou F(x) a G(x) primární funkce F(x) a g(x), pak je primární funkce f(x) + g(x) rovna F(x) + G (x) + C, kde C je libovolná konstanta.
Nyní můžeme přistoupit k řešení druhého příkladu. Podle tohoto pravidla, pro tento případ, prvovýroba z f (x) = 2x + 3 bude rovna:
F(x) = x^2 + 3x + C1
A prvovýroba z g (x) = x^2 + 4x bude rovna:
G(x) = (1/3)x^3 + 2x^2 + C2
Proto je primární součet dvou funkcí f (x) a g (x) roven:
F(x) + G(x) + C = (1/3)x^3 + x^2 + 3x + C1 + C2 + C
kde C je libovolná konstanta. Dostali jsme tedy výraz pro neurčitý integrál ze součtu dvou funkcí f(x) a g (x).
Příklad 3: Výpočet neurčitého integrálu ze součtu dvou funkcí
Pro začátek použijeme vlastnost lineárnosti neurčitého integrálu a rozdělíme úkol na dvě samostatné integrace:
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
Prvním integrálem bude ∫f (x) dx:
∫f(x) dx = ∫(x^2 + 3x + 2) dx
Pro řešení tohoto integrálu používáme stepní pravidlo:
Platí-li toto pravidlo pro každý slogan, dostaneme:
∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^(2+1))/(2+1) + (3x^(1+1))/(1+1) + 2x + C
Zjednodušením výrazu získáme:
∫(x^2 + 3x + 2) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + C
Takže první integrál bude (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + C, kde C je libovolná konstanta.
Nyní se podíváme na druhý integrál ∫g (x) dx:
∫g(x) dx = ∫(2x - 1) dx
Bude fungovat lineární pravidlo:
Použijeme toto pravidlo a dostaneme:
∫(2x - 1) dx = (2/2)(x^2) - (1/1)x + C
∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C
Druhým integrálem tedy bude x^2 - x + C, kde C je libovolná konstanta.
Konečné řešení úkolu bude:
∫(f(x) + g(x)) dx = (x^3)/3 + (3x^2)/2 + 2x + (x^2 - x + C) = (x^3)/3 + (5x^2)/2 + x + C
Kde C je libovolná konstanta, která se objevila při obou integracích.