Řešení systému lineárních rovnic může mít různé množství řešení: jedno, nekonečně mnoho nebo vůbec žádné řešení. Jak určit počet řešení v konkrétním systému?
K tomu je nutné analyzovat koeficienty před proměnnými v rovnicích systému. V našem případě se podíváme na systém rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0.
První rovnice má dva účastníky: proměnné x a y, s koeficienty 2 a 1. Druhá rovnice má pouze proměnnou y, s koeficientem 2. Když se nad tím zamyslíte logicky, můžete si všimnout, že první rovnice popisuje přímku a druhá přímku vodorovnou.
Jak je tedy patrné z grafického znázornění systému rovnic, datové grafy přímek se protínají v bodě x=2, y=3. Systém těchto rovnic má tedy jedno řešení a je společný.
Jak zjistit počet řešení systému rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0 bez řešení
V tomto případě je soustava rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0 pár přímek v rovině. První rovnice udává přímku, která má šikmý koeficient 2 a prochází bodem (0, 7), zatímco druhá rovnice udává vodorovnou přímku, která prochází bodem (0, 3/2).
Pokud se tyto dvě přímky protínají v jednom bodě, pak má systém jediné řešení. Pokud jsou přímky navzájem rovnoběžné a nepřekrývají se, systém nemá řešení. A konečně, pokud se přímky shodují a mají nekonečně mnoho společných bodů, pak má systém nekonečné množství řešení.
Na základě těchto informací lze vidět, že přímka daná rovnicí 2x + y = 7 nemůže být nikdy rovnoběžná s přímkou danou rovnicí 2y - 3 = 0. Nemohou se vzájemně překrývat nebo se shodovat. Systém rovnic tedy nemá řešení.
Rovnice typu A * x + B * y = C A D * x + E * y = F
Pokud má rovnice tvar a * x + B * y = C a D * x + e * y = F, pak takový systém rovnic může mít tři možnosti řešení: jediné řešení, nekonečné množství řešení nebo žádné řešení.
1. Pokud koeficienty A, B, D a E nejsou nulové a determinant matice systému je nenulová hodnota, pak má systém jediné řešení. V tomto případě platí pravidla pro Kramerovu metodu nebo jiné metody řešení rovnicových systémů.
2. Pokud jsou koeficienty A, B, D a E nulové a volné členy C a F jsou také nulové, pak má systém nekonečné množství řešení. V tomto případě všechny hodnoty x a y splňují systém rovnic a jeho grafické znázornění je přímé.
3. Pokud jsou koeficienty A, B, D a E nulové a alespoň jeden ze svobodných členů C a F není nulový, pak systém nemá řešení. V tomto případě se grafy dvou rovnic nepřekrývají a jsou rovnoběžné.
Pokud je známo, že D = 0, E = 0 A F ≠ 0, pak systém bere jako A*x + B*y = C A 0 = F. Takový systém, kde jedna z rovnic neobsahuje proměnné x a y, nemá řešení. Příkladem takové rovnice může být 2x + y = 7 a 0 = 5.
Je důležité si uvědomit, že analýza koeficientů a volných členů umožňuje určit počet řešení v systému rovnic typu A * x + B * y = C a D * x + e*y = f. Pomocí různých metod řešení lze najít přesnou hodnotu řešení nebo stanovit jejich absenci.
Kritérium rovnosti děl A * E A B * D
Nechť je dán systém rovnic:
| 2x + y | = | 7 | (1) |
| 2y - 3 | = | 0 | (2) |
Zvažte matici systému:
Vypočítáme součin a * E A B * D:
| A*E | = | (2)*(2) - (1)*(0) | = | 4 |
| B*D | = | (2)*(7) - (1)*(3) | = | 11 |
Pokud A*E ≠ B*D, pak má systém rovnic jediné řešení.
Pokud A * E = B * D ≠ 0, pak systém rovnic nemá řešení.
Pokud A * E = B * D = 0, pak má systém rovnic nekonečný počet řešení.
Aplikujeme kritérium rovnosti děl a * E A B * D na náš systém rovnic:
Protože A*E ≠ B*D, systém rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0 bez řešení.
Pokud se a * E rovná B * D, pak má systém přesně jedno řešení
Rovnice lze zapsat do maticové formy:
[2 1] [x] = [7]
[0 2] [y] = [3]
kde [2 1] a [0 2] - matice koeficientů, [x] a [y] - sloupce proměnných a [7] a [3] - sloupce volných členů.
Determinant matice koeficientů se vypočítá jako A*E-B*D.
Nastavením hodnot ze systému získáme determinant:
A*E - B*D = (2*2) - (0*1) = 4 - 0 = 4
Pokud A*E není B * D, v tomto případě 4 není 0, pak má systém přesně jedno řešení.
Pro tento systém rovnic lze tedy s jistotou říci, že má přesně jedno řešení.
Když se a*e rovná B * D, zkontrolujeme součinnou rovnost C * E A B * F
Když se součin koeficientů A A E rovná součinu koeficientů B A D (tj. A*E = B*D), systém rovnic má nekonečné množství řešení nebo řešení, které je paprskem. V takovém případě musíme ověřit rovnost součinu koeficientů C a E s součinem koeficientů B A F (C*E = B*F).
Pokud se C*E rovná B * F, pak má systém nekonečné množství řešení nebo řešení ve formě paprsku. Jinak systém nemá řešení.
Když to použijeme na náš původní systém rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0, můžeme vidět, že A = 2, B = 1, C = 7, D = 0, E = 2 a F = 3. Nastražíme hodnoty do našich vzorců a otestujeme rovnost:
(2*2) = (1*0) => 4 = 0 (nerovnost)
Můžeme tedy konstatovat, že systém rovnic má nepustnou řadu řešení nebo nekonečné množství řešení.
Pokud se C * E nerovná B * F, systém nemá řešení
V tomto systému rovnic má první rovnice koeficienty před proměnnými x a y 2 a 1, respektive (C = 2, E = 1) a ve druhé rovnici -2 a 3 (B = -2, F = 3). Na základě toho můžeme vypočítat hodnoty C * E A B*F.
Protože je splněna podmínka C * E ≠ B * F (-6 ≠ 2), pak systém rovnic 2x + y = 7 a 2y - 3 = 0 nemá řešení.
To naznačuje, že data rovnice udávají dvě rovnoběžné přímky v rovině, které se nikdy nepřekrývají a nemají průsečíky.