Mnohoúhelník vepsaný do kružnice je jedním ze základních geometrických tvarů, kterým čelí v matematice a geometrii. Určení počtu úhlů daného mnohoúhelníku může být obtížné, zvláště pokud má mnohoúhelník velké množství stran. S určitými vzorci a pravidly však můžete snadno určit počet úhlů mnohoúhelníku, který je v obvodu.
Než začnete s výpočty, je důležité porozumět některým základním pojmům. Mnohoúhelník vepsaný do kruhu je mnohoúhelník, který má všechny vrcholy položené na kružnici. Je také důležité vědět, že v tomto článku se díváme pouze na polygony vepsané do kružnice, které mají všechny strany stejné.
K určení počtu úhlů mnohoúhelníku vepsaných do kružnice použijeme vzorec: počet úhlů = počet stran mnohoúhelníku. Je však důležité si uvědomit, že tento vzorec funguje pouze pro polygony se stejnými stranami. Pokud strany mnohoúhelníku nejsou stejné, výpočty budou složitější a budou vyžadovat použití jiných metod a vzorců.
Co je polygon vepsaný do obvodu?
Pro polygony zapsané do obvodu existuje několik důležitých vlastností:
| Vlastnost | Popis |
|---|---|
| Všechny strany mnohoúhelníku mají stejnou délku | Protože každá strana mnohoúhelníku je chordem kružnice, všechny strany mají stejnou délku |
| Úhly tvořené stranami jsou stejné | Úhly tvořené stranami mnohoúhelníku jsou si navzájem rovny |
| Součet všech úhlů mnohoúhelníku je 360 stupňů | Protože je mnohoúhelník vepsán do obvodu, součet všech úhlů bude 360 stupňů, což je úplný úhel kružnice |
Mnohoúhelníky vepsané do kruhu mají mnoho aplikací v geometrii a ve fyzikálních vědách, jako je studium molekulární struktury, budování pravidelných mnohoúhelníků a tak dále.
Vlastnosti polygonu vepsaného do obvodu
Každý úhel mnohoúhelníku tvořený jeho dvěma sousedními stranami bude mít stejnou hodnotu. To znamená, že pokud známe jeden z těchto úhlů, můžeme určit hodnotu všech ostatních úhlů mnohoúhelníku.
K nalezení hodnoty každého úhlu mnohoúhelníku vepsaného do kružnice lze použít vzorec: úhel = 360° / n, kde n je počet stran mnohoúhelníku.
Je také třeba poznamenat, že každý úhel mnohoúhelníku vepsaného do kružnice lze vyjádřit centrálním rohem kružnice. Středový úhel se rovná dvojnásobné hodnotě úhlu mnohoúhelníku.
Tyto vlastnosti mnohoúhelníku vepsaného do kružnice umožňují snadnější výpočet a pochopení jeho geometrických charakteristik.
Každá strana mnohoúhelníku je chordem kružnice
S vědomím, že každá strana mnohoúhelníku je struna, lze tuto vlastnost použít k řešení problémů při hledání počtu úhlů v mnohoúhelníku vepsaném do obvodu.
Střed kruhu se shoduje se středem mnohoúhelníku
Když se střed kružnice zapsaný do mnohoúhelníku shoduje se středem mnohoúhelníku, lze získat některé zajímavé vlastnosti tohoto tvaru. Tento tvar se nazývá správný mnohoúhelník.
Ve správném mnohoúhelníku jsou si všechny strany rovny a úhly mezi nimi jsou také stejné. To znamená, že úhel ve správném mnohoúhelníku lze vyjádřit jako 360 stupňů děleno počtem úhlů mnohoúhelníku.
Chcete-li tedy určit počet úhlů ve správném mnohoúhelníku vepsaném do obvodu, musíte vzít libovolný úhel v tomto mnohoúhelníku a najít počet takových úhlů, aby jejich součet byl 360 stupňů.
Příklad:
Předpokládejme, že máme správný šestiúhelník vepsaný do obvodu. Abychom našli počet úhlů v tomto mnohoúhelníku, musíme rozdělit 360 stupňů (celý kruh) na počet úhlů mnohoúhelníku, tedy 6.
360 stupňů / 6 = 60 stupňů.
Správný šestiúhelník má tedy 6 úhlů po 60 stupních.
Tento vzorec lze použít k nalezení počtu úhlů v jiných správných mnohoúhelnících, které jsou vepsány do obvodu.
Vnitřní úhly mnohoúhelníku jsou stejné
Vnitřní úhly mnohoúhelníku vepsaného do obvodu mají vlastnost rovnosti. To znamená, že každý úhel v mnohoúhelníku bude mít stejné měřítko. Bez ohledu na počet stran mnohoúhelníku budou všechny jeho vnitřní úhly stejné.
Tato vlastnost může být použita k výpočtu míry každého úhlu mnohoúhelníku. K tomu je nutné znát počet úhlů v mnohoúhelníku a použít vzorec:
Míra každého úhlu = 360° / (počet úhlů)
Pokud máme například pětiúhelník, pak se počet úhlů rovná 5. Použitím vzorce můžeme vypočítat míru každého úhlu:
Míra každého úhlu = 360° / 5 = 72°
Takže každý úhel pětiúhelníku vepsaného do obvodu bude 72°.
Vzorec pro výpočet počtu úhlů mnohoúhelníku podle počtu stran
Pro výpočet počtu úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu existuje jednoduchý vzorec. Součet úhlů v mnohoúhelníku je 180 stupňů.
Vzorec pro výpočet počtu úhlů mnohoúhelníku v závislosti na počtu stran je následující:
- Nechť n je počet stran mnohoúhelníku.
- Počet úhlů pak lze vypočítat podle vzorce:
- Počet úhlů = (n-2) * 180 / n
Například pro trojúhelník (n = 3) bude počet úhlů:
- Počet rohů = (3 - 2) * 180 / 3 = 60
Pro čtverec (n = 4) bude počet úhlů:
- Počet rohů = (4 - 2) * 180 / 4 = 90
Pomocí tohoto vzorce tedy můžete snadno určit počet úhlů mnohoúhelníku na základě počtu jeho stran.
Konkrétní příklady výpočtu počtu úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu
Výpočet počtu úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu lze provést pomocí tří základních kroků:
- Najděte známé veličiny: délku oblouku kružnice (L) a poloměr kružnice (r).
- Pomocí vzorce pro délku oblouku kružnice L = 2πr Vypočítejte délku oblouku kružnice.
- Pomocí vzorce pro výpočet počtu úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu n = 360° / (360°/L) Vypočítejte počet úhlů mnohoúhelníku.
Zvažte konkrétní příklady:
Příklad 1:
Nechť je poloměr kružnice 5 cm.
Chcete-li vypočítat počet úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu, musíte:
- Najděte délku oblouku kružnice (L). Poznámka: v tomto příkladu není délka oblouku kružnice známa, takže tento krok je třeba přeskočit.
- Pomocí vzorce L = 2πr Vypočítejte délku obvodu oblouku. Poznámka: v tomto příkladu je L = 2π * 5 cm ≈ 31.42 cm.
- Pomocí vzorce n = 360° / (360°/L) Vypočítejte počet úhlů mnohoúhelníku. Poznámka: v tomto příkladu n = 360° / (360°/31.42 cm) ≈ 31.42°.
Příklad 2:
Nechť je délka oblouku obvodu 20 cm.
Chcete-li vypočítat počet úhlů mnohoúhelníku vepsaného do obvodu, musíte:
- Najít poloměr kružnice (r). Poznámka: v tomto příkladu není poloměr kružnice znám, takže tento krok je třeba přeskočit.
- Pomocí vzorce r = L / (2π) Vypočítejte poloměr kružnice. Poznámka: v tomto příkladu r = 20 cm / (2π) ≈ 3.18 cm.
- Pomocí vzorce n = 360° / (360°/L) Vypočítejte počet úhlů mnohoúhelníku. Poznámka: v tomto příkladu n = 360° / (360°/20 cm) ≈ 20°.
Pomocí uvedených příkladů lze tedy určit počet úhlů mnohoúhelníku zapsaného do kružnice při známé délce oblouku kružnice nebo poloměru kružnice.