Parallelogram je čtyřúhelník, který má protilehlé strany rovnoběžné. Aby se tedy dokázalo, že ANBP je rovnoběžník, musí se prokázat, že jeho protilehlé strany jsou rovnoběžné. V tomto případě lze pro důkaz použít skutečnost, že pmnk je paralelogram.
Nejprve prokážeme, že strana AN je rovnoběžná se stranou BP. Předpokládejme, že nejsou rovnoběžné, pak se najde bod Q, který patří straně BP, takže čára aq není rovnoběžná s linií BP. Všimněte si, že čára PM je rovnoběžná s čárkou NK, proto je úhel ANP roven úhlu BPK v odpovídajících úhlech. Zároveň je úhel ANQ roven úhlu BPQ, protože jsou to svislé úhly.
Odečteme-li od ANP úhel ANQ, dostaneme, že úhel PNQ se rovná úhlu BPK. Ale tyto dva úhly musí být stejné, protože jsou odpovídající. Ukazuje se, že úhel PNQ by měl být roven úhlu BPQ, což je možné pouze tehdy, pokud je přímka PQ rovnoběžná se stranou NK rovnoběžníku PMNK. Ale předpokládali jsme opak, totiž, že linka aq není rovnoběžná s linií BP. Takže náš předpoklad byl špatný a strana AN je skutečně rovnoběžná se stranou BP.
Anbp a pmnk paralelogramy: definice a vlastnosti
ANBP a PMNK jsou názvy čtyřúhelníků, které mají specifické vlastnosti.
PMNK je rovnoběžník, takže jeho strany jsou rovnoběžné a rovnoběžné. To znamená, že strana PM se rovná straně NK a strana MN se rovná straně KP. Kromě toho jsou opačné úhly rovnoběžníku PMNK také stejné.
ANBP je také paralelogram. To znamená, že jeho strany jsou rovnoběžné a rovnoběžné. Strana AN se tedy rovná straně BP a strana AB se rovná straně NP. Stejně jako u PMNK jsou opačné úhly rovnoběžníku ANBP stejné.
Schéma důkazu
Pro důkaz, že paralelogramy ANBP, pokud jsou pmnk rovnoběžníky, můžeme použít vlastnosti paralelogramů a důkaz věty.
Krok 1: Ukážeme, že strany AN a BP jsou rovnoběžné.
Z paralelogramu PMNK je známo, že strany PM a KN jsou rovnoběžné. Strany NK a MP jsou tedy rovnoběžné. V rovnoběžníku ANBP je strana AN rovnoběžná se stranou NK a strana BP je rovnoběžná s stranou MP. Podle tranzitivity jsou paralelní vztahy, strany AN a BP jsou také paralelní.
Krok 2: Ukažme, že strany AB a NP jsou rovnoběžné.
Z paralelogramu PMNK je známo, že strany PM a KN jsou rovnoběžné. Takže strany PM a NK jsou rovnoběžné. V rovnoběžníku ANBP je strana AB rovnoběžná se stranou PM a strana NP je rovnoběžná se stranou NK. Z hlediska tranzitivity jsou paralelní vztahy, strany AB a NP jsou také paralelní.
Krok 3: Ukažme, že úhly ANB a BPA jsou stejné.
V paralelogramu PMNK jsou úhly KNM a KMP stejné, protože odpovídající úhly při rovnoběžných přímkách jsou stejné. To znamená, že úhly KNM a KMP jsou si rovny. V rovnoběžníku ANBP jsou úhly ANB a BPA svislými úhly směrem k úhlům KNM a KMP. Protože úhly KNM a KMP jsou stejné, úhly ANB a BPA jsou také stejné.
Krok 4: Ukažte, že úhly PBN a NBA jsou stejné.
V paralelogramu PMNK jsou úhly KNP a KPM stejné, protože odpovídající úhly při rovnoběžných přímkách jsou stejné. To znamená, že úhly KNP a KPM jsou si rovny. V rovnoběžníku ANBP jsou úhly PBN a NBA svislými úhly směrem k rohům KNP a KPM. Vzhledem k tomu, že úhly KNP a KPM jsou stejné, úhly PBN a NBA jsou také stejné.
Tímto způsobem jsme dokázali, že pokud je paralelogram PMNK, pak je anbp také rovnoběžník.
Příklad důkazu
1. V rovnoběžníku jsou opačné strany stejné a rovnoběžné.
Z Podmínky úlohy je známo, že v paralelogramu PMNK jsou protilehlé strany PM a NK rovnoběžné a rovnoběžné.
2. V rovnoběžníku jsou opačné úhly stejné.
Je také známo, že v paralelogramu PMNK jsou opačné úhly P a k stejné.
3. Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu.
Označíme průsečík úhlopříček rovnoběžníku ANBP jako o. Vzhledem k tomu, že rovnoběžník PMNK je rovnoběžník, úhlopříčky PM a NK se protínají v bodě O a dělí se na polovinu. Nechť je průsečík úhlopříček pm a NK roven m.
Podle vlastností úhlopříček rovnoběžníku se úhlopříčky AN a BP také protínají v bodě O a dělí se na polovinu. Nechť je průsečík úhlopříček AN a BP roven N.
Tímto způsobem získáme, že bod O je středem obou úhlopříček AN a BP. ANBP je tedy paralelogram.
Připomínka: V tomto příkladu byla dána pouze jedna vlastnost paralelogramu PMNK, ale takových vlastností může být více a při prokázání paralelogramu ANBP se používají všechny známé vlastnosti paralelogramu PMNK.